Оценки первого собственного значения эллиптической краевой задачи с параметром
3
2
2
2
1
1
|
|
1
v ds
v C
v dx
(7)
с постоянной
1
C
, зависящей от ,
и произвольным
0.
С учетом
выражений (5) и (7) получаем
2
2
2
1
( )
( )
1/2
1 2
2
1
1/2
1 2
2
[ , ]
1
|
|
1 ( )
1
|
|
1
M
M
L
L
Tu Tu Tu
guTuds g u
Tu
C Tu
Tu dx
g
C u
u dx
2
.
M M
C Tu u
(8)
Здесь
1
1 1 ;
C
M M
1
sup ( );
x
g
g x
С
2
— постоянная, завися-
щая от коэффициентов ( )
ij
a x
и
1
,
g
2
0.
C
Из неравенства (8) вытекает, что
2
,
M
M
Tu
C u
поэтому при
1
, где
1
зависит от
2
C
и
, справедливо неравен-
ство
1
1
( )
( )
1
H H
T
, обратный оператор
1
(
)
I T
ограничен и
1
1
(
)
1
.
I T
T
Следовательно, уравнение (6) может быть
приведено к виду
1
(
)(
)
0.
I
M I T B u
Оператор
B
является компактным [1], а значит, оператор
1
1
1
(
)
:
( )
( )
I T B H H
также компактен при данном
.
Таким образом, спектр задачи (6) состоит из последовательности
собственных значений конечной кратности
,
1, 2, ...,
j
R j
с
единственной предельной точкой на бесконечности. Поскольку
1
(
)
,
0
M
I T Bu u
, имеем
,
j
M
j
,
.
j
