А.В. Филиновский
2
Задача (1), (2) возникает при исследовании колебаний неодно-
родной мембраны с упруго закрепленным краем. В случае
( ) 1
g x
она называется задачей Робена для
0
и обобщенной задачей Ро-
бена для
0.
Рассматривая задачу (1), (2) в пространстве
1
( )
H
, мы ищем
значения
, для которых существует ненулевая функция
1
( )
u H
,
удовлетворяющая интегральному тождеству
, 1
n
ij
i
j
i j
u v
a
dx
guvds
uvdx
x x
(3)
при любой функции
1
( )
v H
. Равенство (3) может быть записано с
произвольной постоянной
0:
M
, 1
(
)
.
n
ij
i
j
i j
u v
a
Muv dx
guvds
M uvdx
x x
(4)
Определим в пространстве
1
( )
H
эквивалентное исходному ска-
лярное произведение
, 1
[ , ]
n
M
ij
i
j
i j
u v
u v
a
Muv dx
x x
и норму
2
[ , ]
M
M
u u u
.Теперь равенство (4) можно преобразовать к
виду
[ , ]
[ , ]
(
)[ , ] ,
M
M
M
u v
Tu v
M Bu v
где самосопряженные операторы
1
1
:
( )
( )
T H H
и
1
:
( )
B H
1
( )
H
определяются билинейными формами
[ , ]
;
M
Tu v
guvds
[ , ]
M
Bu v
uvdx
,
1
,
( ).
u v H
(5)
Таким образом, имеем спектральную задачу в пространстве
1
( )
H
с нормой
M
:
(
) (
) ,
I T u
M Bu
(6)
где
I
— единичный оператор.
В области с гладкой границей для каждой функции
1
( )
v H
справедлива оценка [1]
