А.В. Филиновский
6
Поскольку собственная функция
u
зависит от
непрерывно в
пространстве
1
( )
H
[3], из оценки (14) следует, что
1
2 1
1
2
1 2
1 1
1 1
2
2 1
( )
( )
( ) lim
.
gu ds
u dx
Применяя теорему единственности решения задачи Коши для
эллиптических уравнений [4], получаем, что
1
2
0,
u ds
а значит,
1
2
0.
gu ds
Это доказывает соотношение (12) и неравенство
( )
1 1
.
d
Неравенство
( )
1 1
d
дает верхнюю границу
1
( )
при
.
В работе [5] для
ij
ij
a
,
1
g
и
2
n
была получена следующая
двусторонняя оценка:
1
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
4
1
( )
1
| |
d
d
d
q
,
(15)
где
0;
1
2
1
2
( ),
0
inf
;
y H y
y ds
q
y dx
| |
— длина граничной кривой. В
дальнейшем свойства функции
1
( )
изучали различные авторы [6–11].
Теорема 1.
Для
2
n
и
0
справедлива оценка
1
1
( )
1
1 1
( )
d
g
q
,
(16)
где
1
, 1
2
2
( ),
0
inf
.
n
ij
j
i
i j
g
y
y H
a
x
x
gy ds
q
y dx
