Оценки первого собственного значения эллиптической краевой задачи с параметром - page 10

А.В. Филиновский
10
Положим ( )
1
0
(0) lim ( ) d
k
k

     , ( , 0)z x u  . Тогда, используя со-
отношения (21)–(24) и формулу Грина, имеем
 
, 1
, 1
( , 0) ( , )
( ) (0) ( , 0) 0
( , 0) ( , )
( ) ( ) ( , 0)
( , )
(0) ( ) ( , 0)
n
ij
j i
i j
n
ij
j i
i j
z x dz x k
a x z x dx
x x dk
z x dz x k
a x k z x dx
x x dk
dz x k
k z x dx
dk
 
 

       
      
       
       
      
       
  





 
 
 
, 1
( , ) ( , )
( ) ( ) ( , 0)
( , )
(0) ( ) ( , 0)
( , 0) ( , )
( , )
( )
( ) ( , ) ( , 0)
( , )
(0) ( ) ( , 0)
n
ij
j i
i j
dz x k dz x k
a x k z x dx
x x dk dk
dz x k
k z x dx
dk
z x z dz x k ds
x k k
N N N dk g x
d k z x k z x dx
dk
dz x k
k z x
d
 



       
  
   
       
  
    
  
 
    
  
 





 

 
( , 0) ( , ) ( , ) .
( )
dx
k
z x z x k dz x k ds
k
N N N dk g x



    
 
 
    


Следовательно,
  ( , ) 1 (0) ( ) ( , 0) ( )
( , ) ( , 0)
dz x k d k z x dx k dk dk z x k z x dx 

    



  
( , 0) ( , ) ( , ) .
( )
z x z x k dz x k ds
k
N N N dk g x

     
    
     
 (25)
Из равенства (25) получаем