Оценки первого собственного значения эллиптической краевой задачи с параметром
7
Доказательство.
Для произвольной функции
1
( )
v H
рас-
смотрим краевую задачу
, 1
0,
n
ij
j
i
i j
y a
x
x
;
x
(17)
0
v y
на
.
x
(18)
Условие (18) означает, что
0
1
( ).
w v y H
В этом случае
, 1
0;
n
ij
i
j
i j
y w a
dx
x x
0.
gywds
(19)
С учетом выражений (9) и (19) получаем
0
1
1
, 1
1
1
2
1
( )
2
, 1
( ),
( ),
0
2
2 2
, 1
, 1
( ),
1 sup
sup
(
)
(
)
sup
n
ij
j
i
i j
n
v H
ij
i
j
i j
y
v H v y H
a
x
x
n
n
ij
ij
i
j
i
j
i j
i j
v H v y
v dx
v v
a
dx
gv ds
x x
y w dx
y y
w w
a
a
dx
g y w ds
x x
x x
0 1
, 1
( ),
0
2
1/2
1/2
2
2
2 2
, 1
, 1
.
(
)
n
ij
j
i
i j
y
H
a
x
x
n
n
ij
ij
i
j
i
j
i j
i j
y dx
w dx
y y
w w
a
a
dx
g y w ds
x x
x x
Используя теперь неравенство
2
2
2
2 2
2
2
(
)
a b a b
c d c d
