Начально-краевая задача для уравнений динамики вращающейся жидкости
9
Полученное решение представляет собой суперпозицию двух
волн с волновыми числами ( 1, 2)
j
k j
и частотой
,
распространя-
ющихся вдоль оси
Oy
навстречу одна другой и экспоненциально за-
тухающих на расстояниях порядка
j
. Решение (30) равномерно при-
годно для всей области как в нерезонансном, так и в резонансном
случае
(2 ).
Действительно, при
2
1
1
2
2
2
2
4
2
1
1
1
2
2
4
4
16
,
2 16
;
2
0,
,
k
k
k
т. е. в резонансном случае волна, набегающая на пластину, отсут-
ствует, но решение продолжает затухать в глубь жидкости. Однако
при
0,
2
и решение становится непригодным при
,
y
так как толщина одного из пограничных слоев неограниченно воз-
растает. Этот эффект отсутствия колебательного решения при
2
обсуждается в работе [13]. Важным следствием из приведен-
ного анализа является тот факт, что затухание снимает трудности,
отмеченные в работе [13]. В этом смысле оно играет аналогичную
роль, что и отсос жидкости с поверхности пористой пластины, рас-
смотренный в работах [15–19].
Согласно выражениям (25) и (27), при
2
и
0
устано-
вившееся решение, равномерно пригодное во всей занятой жидко-
стью области, имеет вид
1
t
t
1
2
ˆ
e exp
e erfc
.
2
i
i
p
y
V A
y
A
t
(31)
Решение (31) носит колебательный характер. Расстояние от пласти-
ны, на котором это отличие становится существенным,
1/2
0 ( ) .
y
t
Когда угловая скорость
0
вращения пластины пер-
пендикулярна ее плоскости, выражение (31) переходит в полученное
в работе [13] решение для этого случая.
Исследуем экспоненциально затухающее движение пластины.
Положим в соотношениях (25), (26)
1 2
ˆ ˆ
ˆ
0,
,
2
,
A A A i
тогда поле скоростей и вектор касательных напряжений имеют вид
