Начально-краевая задача для уравнений динамики вращающейся жидкости
3
тухает в пограничном слое. Cледовательно, задача сводится к опре-
делению поля скоростей
.
v
В силу того что прилегающий к стенке
пограничный слой тонок, элемент поверхности
dS
с нормалью мож-
но моделировать плоской стенкой, которая ограничивает полупро-
странство с вязкой жидкостью, вращающейся вокруг неперпендику-
лярного ей направления с угловой скоростью
0
и движущейся со
скоростью
r
v
в своей плоскости.
Нестационарный пограничный слой на вращающейся плас-
тине.
Пусть бесконечная пластина
H
вращается вместе с жидкостью
в пространстве с угловой скоростью
0
const
и движется в своей
плоскости со скоростью
( ).
u t
Пластина ограничивает полупростран-
ство
,
Q
заполненное несжимаемой жидкостью с плотностью
и ки-
нематической вязкостью
.
Жидкость находится в поле массовых
сил с потенциалом
.
U
Свяжем с пластиной декартову систему координат
Oxyz
с ортами
x
e
,
y
e
,
z
e
таким образом, что плоскость
Oxz
совпадет с ее плоско-
стью, а ось
Oy
будет направлена перпендикулярно пластине внутрь
жидкости.
Уравнения движения жидкости в системе
,
Oxyz
а также гранич-
ные и начальные условия имеют вид
0
0
0
1
(
) 2
( )
;
div 0,
;
( , ) ( ),
,
0,
( , ) 0, | |
,
0;
( , 0) 0,
,
V
r
V
V V
P U V
t
V r Q
V r t u t
r H t
V r t
r
t
V r
r Q
(1)
где
r
— радиус-вектор относительно полюса
;
O
V
— скорость жид-
кости;
t
— время;
P
— давление.
Решение уравнений (1) будем искать в виде
2
0
(
)
( , );
2
( , )
( , ) ,
x
x z
z
P
r
U q y t
V V y t e V y t e
(2)
Тогда система (1) распадается на следующие две подсистемы:
2
2
2 (
)
,
( ),
0,
0;
0,
,
0,
( , 0) 0,
0,
y
V
V
e V
V u t
y
t
t
y
V
y
t
V y
y
(3)
