А.А. Гурченков
2
Таким образом, задача динамики тела с жидкостью разбивается
на две части. Первая часть, зависящая только от геометрии полости,
сводится к решению краевых задач и расчету тензора присоединен-
ных масс, вторая — обычная задача динамики твердого тела — к ре-
шению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задачи динамики тел с полостями, содержащими вязкую жид-
кость [1, 2], значительно сложнее, чем в случае идеальной жидкости.
Рассматривают их главным образом в линейной постановке. Эти за-
дачи актуальны при изучении динамики космических аппаратов, ко-
торые для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами,
создания искусственной силы тяжести и других целей равномерно
закручиваются на орбите вокруг некоторой оси, а также при проек-
тировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов с
жидким наполнением [3]. Кроме того, поведение жидкости в услови-
ях невесомости или малой гравитации влияет на поведение космиче-
ского корабля.
Одновременно с изучением задачи о движении тела с полостью,
содержащей жидкость, встала проблема устойчивости такого движе-
ния. У. Кельвин установил, что вращение волчка будет устойчивым,
если полость сжата в направлении оси вращения, и неустойчивым,
если волчок имеет слегка вытянутую форму. Х. Андерсен [4] иссле-
довал характеристическое уравнение для малых колебаний твердого
тела с жидкостью вблизи равномерного вращения, при этом поло-
стью являлся эллипсоид, а жидкость внутри полости была идеальной
и совершала однородное вихревое движение. В многочисленных ра-
ботах по этой тематике можно выделить три направления:
1) исследование линеаризованных уравнений движения с помо-
щью методов теории малых колебаний и спектральной теории опера-
торов [5–7];
2) исследование полных нелинейных уравнений движения, осно-
ванное на применении и развитии второго метода Ляпунова [8, 9];
3) экспериментальные исследования.
Наиболее трудным аспектом задачи динамики тел с полостями,
содержащими вязкую жидкость, является учет ее вязкости. Экспери-
ментально установлено, что при быстром вращении движение вязкой
жидкости в полости не отличается от движения идеальной жидкости
в основной массе, за исключением тонкого пристеночного слоя, тол-
щина которого мала.
Поле скоростей
v
вязкой жидкости можно представить в виде
нормальной и касательной компонент:
.
n
v v v
При этом нор-
мальная компонента вязкой жидкости совпадает с нормальной ком-
понентой скорости, полученной из решения задачи для идеальной
жидкости. Что касается касательной компоненты, то она быстро за-
