Начально-краевая задача для уравнений динамики вращающейся жидкости
5
Вектор касательных напряжений, действующих со стороны жид-
кости на пластину, определяется выражением [11]
0
|
.
y
V
f
y
(11)
Подставив скорость
V
вида (8) в формулу (11), после простых, но
громоздких вычислений получим
1/2
0
( , )
(0, ) .
(
)
t
T t
T t
f
d
t
t
(12)
Соотношения (8)–(10) и (12) полностью решают поставленную
задачу. При отсутствии вращения решение переходит в известное
решение задачи о нестационарном движении жидкости, ограничен-
ной перемещающейся плоской стенкой [12].
В частном случае гармонических колебаний и в предположении о
перпендикулярности оси вращения плоскости пластины показано
совпадение с результатами, полученными в работе [13].
Для дальнейшего анализа удобно представить поле скоростей и
вектор касательных напряжений в комплексной форме. Введем ком-
плексные векторы скорости жидкости и пластины, а также комплекс-
ный вектор напряжений:
ˆ
;
z
x
V V iV
ˆ
;
z
x
u u iu
ˆ
.
z
x
f
f if
(13)
Из выражений (8)–(12) находим
2
3/2
0
ˆ( )
ˆ
exp 2 (
)
;
4 (
)
(
)
2
t
y
u
y
V
i
t
d
t
t
(14)
1/2
0
ˆ( ) exp 2 (
)
ˆ
.
(
)
t
u
i
t
f
d
t
(15)
Продольные квазигармонические колебания пластины.
Пусть
пластина колеблется в своей плоскости со скоростью
1
2
ˆ
ˆ
ˆ e
e
e ,
t
i t
i t
u
A A
(16)
где
— коэффициент затухания; ˆ ( 1, 2)
j
A j
— комплексные по-
стоянные;
— частота колебаний.
