Стр. 4 - И.К. Романова - Современные методы редукции нелинейных систем и их применение для формирования моделей движущихся объектов
Упрощенная HTML-версия
Эти две матрицы могут рассматриваться как меры управляемости и
наблюдаемости систем.
Поведение системы рассматривается в полном диапазоне времени
от
−∞
до
+
∞
. Для описания используется карта Ханкеля — изобра-
жение состояний от прошлых входов к будущим выходам:
H
u
(
−∞
: 0)
7
→
y
(0 :
∞
)
,
причем вход влияет на текущее состояние
x
(0)
u
(
−∞
: 0)
7
→
x
(0)
.
Ставится вопрос: какая наименьшая размерность
n
необходима,
чтобы реализовать данную карту Ханкеля
H
?
Представление Мура заключается в том, что следует ограничивать-
ся направлениям, которые легко возбудить, и игнорировать направле-
ния, где изменения не влияют на выход очень сильно. Чтобы оценить
эту идею, он ввел функции управляемости (
L
c
(
x
0
)
) и наблюдаемости
(
L
o
(
x
0
)
) системы. Функция управляемости определяет минимальную
энергию (энергию прошлого), требуемую для достижения
x
0
от 0 на
бесконечном времени:
L
c
(
x
0
) = inf
u
2
L
2
(
−∞
,
0)
x
(
−∞
)=0
, x
(0)=
x
0
1
2
0
Z
−∞
k
u
(
t
)
k
2
dt,
(12)
где
L
2
— индуцированная норма.
Управляемость системы означает, что
L
c
(
x
0
)
ограничена; если
F
—
матрица Гурвица, то
L
c
(
x
0
)
положительно определена; если грамиан
L
c
(
x
0
)
большой, тогда требуется много входной энергии, чтобы воз-
будить систему в направлении
x
0
и так, чтобы направление могло
игнорироваться в редуцированной модели.
Функция наблюдаемости
L
o
(
x
0
)
определяет энергию выхода (энер-
гию будущего), генерируемую реализацией системы от ее начального
состояния
x
(
t
0
) =
x
0
и нулевого входа
u
(
t
) = 0
для
t
≥
0
, т.е.
L
o
(
x
0
) =
1
2
∞
Z
0
k
y
(
t
)
k
2
dt.
(13)
Если
F
— матрица Гурвица, то
L
o
(
x
0
)
ограничена. Наблюдаемость
системы означает, что
L
o
(
x
0
)
положительно определена. Если
L
o
(
x
0
)
мала, то изменения в направлении
x
0
приводят к малым изменениям в
выходной энергии, так что направление может быть проигнорировано
в редуцируемой модели.
В линейном случае можно показать, что
L
c
(
x
0
) =
1
2
x
т
0
W
−
1
c
x
0
;
L
0
(
x
0
) =
1
2
x
т
0
W
o
x
0
.
(14)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
125
