220
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
в том, что наши реальные кристаллы неидеальны, и для устранения
несоответствия необходимо учитывать дисперсию размеров глобул
в реальном фотонном кристалле.
Пусть
a
– случайный период решетки (для каждой элементарной
ячейки свой), имеющий некоторое распределение, задаваемое функ-
цией плотности вероятности
p
(
a
). Тогда, поскольку
k
=
k
(
ω
,
a
), то
волновое число
k
также является случайной величиной, а значит, и
коэффициент отражения
( )
(
)
(
)
(
)
2
, /
1
,
, /
1
c k a
R R a
c k a
ω
ω
ω
ω
ω
ω
⎡
⎤−
=
= ⎢
⎥+
⎣
⎦
(9)
это случайная функция, поскольку зависит от случайной величины.
Как известно из теории вероятностей [14], если случайная вели-
чина
ξ
имеет плотность распределения
fξ
(
x
) и функция
g
монотон-
на, то случайная величина
η
=
g
(
ξ
) имеет следующую плотность
распределения:
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
.
f x g x f g x
η
ξ
−
−
′
=
(10)
В данной формуле
g
–1
– функция, обратная к
g
, и
( )
(
)
1
g x
−
′
– ее
производная. Исходя из приведенного выше, функция плотности ве-
роятности величины
R
вычисляется следующим образом:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
,
,
,
.
R
a
p a
R a p R a
a
ω
ω
ω
−
−
∂
=
∂
(11)
Следовательно, наблюдаемый спектр можно определить по формуле
( )
(
) (
) (
)
(
) (
)
,
,
,
,
.
R
a
R
a
R
R ,a p a dR a R a p a da
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Ω
Ω
=
=
∫
∫
(12)
Интегрирование в (12) идет по всем возможным значениям соот-
ветствующих случайных величин. Здесь уместна аналогия с кванто-
вой механикой, где среднее значение некоторой физической величины
с соответствующим оператором
F
определяется как
|
|
F
F
= < Ψ Ψ > =
*
,
F d x
Ω
= Ψ Ψ
∫
G
с учетом того, что
( ) ( )
( )
*
x x p x
Ψ Ψ =
G G
G
– функция плот-
ности вероятности.
В силу соотношений (2) – (8) взятие интеграла в (12) представ-
ляет существенные трудности, поэтому в данной работе его анали-
зировали численно. Необходимо отметить, что область допустимых
значений параметра
a
– вся положительная полуось, т. е. Ω
a
= (0; ∞).
1,2,3,4,5,6,7,8 10,11,12,13,14,15,16