Стр. 10 - В.В. Филатов - Управляемые оптические свойства глобулярных фотонных кристаллов на основе искусственных опалов, легированных сегнетоэлектриком

221
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
Из-за невозможности численного интегрирования до бесконечности
воспользуемся неравенством Чебышева [14], согласно которому, если
случайная величина a имеет конечные математическое ожидание m
и дисперсию σ2, то вероятность отклонения от среднего на величину,
большую некоторого наперед заданного ε > 0,
( ) 2
2 . P a m σ
ε
ε
− ≥ ≤ (13)
Таким образом, вместо интегрирования (12) по a от нуля до бес-
конечности можно обойтись конечными пределами (m – ζσ, m + ζσ),
причем в общем случае ошибка составит O(ζ –2).
В силу большого количества факторов, влияющих на характерный
размер, можно полагать, что локально распределение мало отличает-
ся от гауссовского, т. е.
( ) ( )2
2
1 exp .
2 2
a m
p a
σ σ π
⎡ ⎤ −
= −⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(14)
Окончательно, с учетом «правила трех сигм» [14], снижающего
вероятность (13) отклонения от среднего до 0,3 %,
( ) ( )
( )
( ) 2 2
3
2
3
/ 1 exp .
/ 2 2
m
m
k c a m
R da
k c
σ
σ
ω ω
ω
ω ω σ σ π
+
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − −
≅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ (15)
В приведенном соотношении параметры распределения (m, σ) за-
висят от конкретного образца, т. е. являются феноменологическими.
В силу гранецентричности решетки средний характерный период
кристалла 2 .
3 m D= < > Величина σ определяет среднеквадратичное
отклонение реального периода a от среднего m и заранее не извест-
на. Поэтому была проведена серия расчетов спектров отражения ГФК
при различных значениях σ. Оказалось, что наилучшее совпадение
с данными спектрального анализа реализуется при σ = 5 нм. При этом
рассчитанные спектры практически совпадают с измеренными экспе-
риментально и потому не приведены.
Электрооптические эффекты в фотонном кристалле с BaTiO3.
Как известно, титанат бария может существовать в нескольких мо-
дификациях. Так, при температуре выше TC ≈ 120 °C материал нахо-
дится в кубической (параэлектрической) фазе с группой симметрии
Pm3m, при температуре от 5 до 120 °C вещество пребывает в тетраго-
нальной полярной (сегнетоэлектрической) фазе с группой P4mm, при
температуре от –90 до 5 °C фаза вещества орторомбическая полярная