6 / 14
В.Э. Еремьянц
6
Инженерный журнал: наука и инновации
# 1·2018
Равенство (9) справедливо при указанных граничных условиях,
если
(2 1) ,
1, 2, 3...,
2
− π
β =
=
s
s
s
l
(11)
где
s
— номер формы колебаний.
Собственные частоты колебаний стержня определяют по выра-
жению (10):
(
)
(
)
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
0
0
0
0, 5
0, 25
.
=
β + + ±
β + + − β
i
s
s
s
s
p
a k k
a k k
a k
(12)
Из формулы (12) следует, что существует два спектра собствен-
ных частот
1
s
p
и
2
.
s
p
Нижний спектр
1
s
p
соответствует знаку минус в
выражении (12) и определяется колебаниями присоединенных масс
относительно центрального стержня. Верхний спектр частот
2
s
p
со-
ответствует знаку плюс и определяется собственными колебаниями
центрального стержня. При этом частоты нижнего спектра с увели-
чением номера гармоники практически не изменяются. В сущности,
можно считать, что это одна частота, и при расчетах в разложениях
функций перемещений и сил гармонику с низшей частотой необхо-
димо учитывать только один раз. В противном случае ряд нижнего
спектра частот получается расходящимся, что противоречит физиче-
скому смыслу.
Формы колебаний в безразмерном виде описываются одинаковой
функцией, удовлетворяющей уравнению (9):
1
2
( )
( )
( ) cos .
=
=
= β
s
s
s
s
X x X x X x
x
(13)
С учетом найденных форм и частот колебаний находим общие ре-
шения уравнений (1), (2) в виде сумм частных решений уравнения (8):
( ) ( )
( )
(
)
2
2
0
1
1
1
11
1
2
( , )
cos
sin
cos
sin
;
∞
=
=
β
+
β
s
s
s
s
V
u x t
B x
p t
B
x
p t
l
( ) ( )
( )
(
)
2 2
2
0
2
1 11
1
11
1
2
( , )
cos
sin
cos
sin
,
∞
=
=
λ β
+ λ β
s s
s
s
s
V
u x t
B
x
p t
B
x
p t
l
где
B
1
,
2
,
s
B
λ
i
s
— коэффициенты, определяемые по формулам:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
12
11
1
1 11 11 12
11
2 2 2
2
1
1
;
;
1
;
1, 2.
λ −
λ −
=
=
β λ − λ
β λ − λ
β −
λ = +
=
i
i
s
s s
s
s
s
s
B
B
p
p
a p
i
k