5 / 14
Моделирование процесса виброударной обрубки точного литья…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 1·2018 5
[
]
1
0 1
2
( , )
;
( , )
( , )
( , )
∂ =
=
−
∂
u
P x t
ES
F x t
c u x t u x t
x
; (4)
( , )
;
( , )
σ =
σ =
c
y
P
FL
x t
x t
S
W
, (5)
где
P
— усилия в сечениях центрального стержня;
F
— усилия в
упругих связях; σ
с
— напряжения в сечениях центрального стержня;
σ
y
— напряжения в упругих связях;
L
— расстояние от центра тяже-
сти присоединенной массы до места разрушения упругой связи;
W —
момент сопротивления изгибу в месте разрушения связи.
В работе [13] приведено сравнение собственных форм и частот
колебаний оснащенного стержня, получаемых по этой модели и по
модели с сосредоточенными массами. Показано преимущество моде-
ли с распределенными параметрами.
Решение уравнения (3) зависит от граничных и начальных усло-
вий задачи. В качестве примера рассмотрим два случая.
1.
Колебания оснащенного стержня при ударе по жесткой пре-
граде.
В этом случае с начала касания стержнем преграды происхо-
дят его свободные колебания с собственными частотами, которые
зависят от граничных условий задачи. При расположении начала
оси
x
на свободном торце стержня граничные и начальные условия
имеют вид
1
1
(0, ) 0;
( , ) 0
∂
=
=
∂
u t
u l t
x
; (6)
1
2
1
2
0
( , 0)
( , 0) 0;
( , 0)
( , 0)
=
=
=
=
u x u x
u x u x V
, (7)
где
V
0
— скорость стержня в момент касания преграды.
Принимаем решение уравнения (3) в виде
1
( , )
( ) cos(
)
=
+ ϕ
u x t
X x
pt
, (8)
где
X
(
x
) — амплитудная функция; cos (
pt +
φ) — главная координата;
p
, φ — соответственно собственная частота и начальная фаза колеба-
ний;
t
— время.
Подставляя выражение (8) в уравнение (3), получаем уравнение для
нахождения амплитудных функций и собственных частот:
2
0
+ β =
′′
X X
, (9)
где
′′
X
— вторая производная от амплитудной функции по коорди-
нате
x
; β — коэффициент, определяемый по формуле
2
2
2
2
2 2
0
1
β = −
−
p
k
a
p k
. (10)