4 / 14
В.Э. Еремьянц
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 1·2018
массы со стержнем
c
0
, то параметры модели будут связаны с пара-
метрами оснащенного стержня соотношениями
1
2
0
0
,
,
,
= = ρ
=
=
m
nm nc
m
S m
c
l
l
l
где
m —
распределенная масса центрального стержня;
m
1
— масса
всего стержня; ρ — плотность материала стержня;
l, S
— соответ-
ственно длина стержня и площадь поперечного сечения;
m
0
— рас-
пределенная по длине стержня масса отливок;
m
2
— масса одной от-
ливки;
n
— количество сосредоточенных масс (отливок);
с —
распре-
деленный по длине стержня коэффициент жесткости питателей;
c
0
— коэффициент жесткости упругой связи одной сосредоточенной
массы со стержнем (коэффициент жесткости одного питателя).
Записывая сумму сил, действующих на массы, включая силы
инерции, получаем следующие уравнения движения:
(
)
2
2
2
2
1
1
1 2
2
2
0
∂
∂ −
+ − =
∂
∂
u
u a
k u u
t
x
; (1)
(
)
2
2 2
0 1 2
2
0
∂ − − =
∂
u k u u
t
, (2)
где
u
1
(
x, t
) — перемещение сечений центрального стержня;
u
2
(
x
,
t
) —
перемещения присоединенных масс;
x
— координата сечения,
отсчитываемая от верхнего конца стержня;
a
— скорость распро-
странения волны деформации в гладком упругом стержне;
k, k
0
—
отношение распределенного коэффициента жесткости питателей к
распределенной массе соответственно стержня и отливок:
2
2
0
0
;
;
,
=
=
=
ρ
E
c
c
a
k
k
m m
где
E
— модуль упругости материала стержня.
Эти уравнения отличаются от приведенных в работе [12] тем, что
они не содержат функций, связанных с ударными силами в осцилля-
торах и, как будет показано ниже, решаются при иных граничных и
начальных условиях.
Уравнения (1), (2) могут быть сведены к одному уравнению отно-
сительно координаты
u
1
(
x
,
t
):
(
)
4
4
2
2
2
2 2
2 2
1
1
1
1
0
0
4
2 2
2
2
0
∂
∂
∂
∂
−
+ +
−
=
∂
∂ ∂
∂
∂
u
u
u
u
a
k k
k a
t
x t
t
x
. (3)
Решая уравнение (3), можно найти функцию
u
1
(
x
,
t
), а затем из
уравнения (1) определить функцию
u
2
(
x
,
t
). При известных функциях
u
1
и
u
2
усилия и напряжения в сечениях центрального стержня, а так-
же усилия и напряжения в упругих связях определятся как