3 / 12
Доверительные границы для показателя надежности системы
…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 1·2018 3
Асимптотическое решение (для случая высокой надежности).
В
соответствии с уравнением (1) функция надежности системы имеет вид
[
]
2
c
1
1
1 1
( )
.
−λ
−λ
=
= +
=
− −
∏ ∏
i
i
n
m
t
t
i
i n
P t
e
e
Отсюда, используя разложение функции ln
P
c
(
t
) в ряд по степе-
ням (
λ
i
t
)
→
0,
i
= 1, …,
m
, после простых преобразований, получаем
2
2
c
1
2
1
( )
( )
( )
exp
( ) .
=
= − λ − λ + λ
∑
n
i
i
P t
f
t f
t
o
t
(3)
В уравнении (3)
f
1
(
λ
),
f
2
(
λ
) — функции от вектора параметров
λ
= (
λ
1
, …,
λ
m
) следующего вида:
2
1
2
1
1
,
( )
( )
.
=
= +
λ = λ λ = λ
∑
∑
n
m
i
i
i
i n
f
f
(4)
Из уравнения (3) следует приближенное (для случая высокона-
дежных элементов, т. е. при
λ
i
t
<< 1,
i
= 1, …,
m
) выражение
2
c
1
2
( )
( )
exp
.
(
)
≅ − λ − λ
P t
f
t f
t
(5)
При этом задача оценки функции надежности системы (5) сво-
дится к оценке сверху двух функций от параметров надежности эле-
ментов
f
1
(
λ
) и
f
2
(
λ
).
Случайная величина (с. в.)
d
i
имеет пуассоновское распределение с
параметром
Λ
,
i
i i i
N T
= λ
i
= 1, …,
m
,
и, следовательно, наблюдаемое на
испытаниях суммарное число отказов
1
1 2
n
D d d
d
= + +…+
также имеет
пуассоновское распределение с параметром
1
2
Λ Λ Λ Λ
n
= + +…+
. Обо-
значим через
( )
d
γ
∆
стандартную верхнюю
γ
-доверительную границу
для параметра пуассоновского распределения по результату наблю-
дения
d
[1]. Тогда, по определению этой величины, справедливо не-
равенство
( )
1
1
Δ
.
γ
=
λ ≤
≥ γ
∑
n
i i i
i
P N T
D
(6)
Обозначим через
{
}
:
0, 1, 2, ..., 1, ...,
=
=
=
i
L d d
i
m
множество
всех возможных значений результатов испытаний
1 2
( , , ...,
).
m
d d d d
=
Рассмотрим систему подмножеств в пространстве параметров:
( )
1
1
1
:
Δ ,
( )
0, 1, ..., ,
.
n
i i i
i
i
H d
N T
D
i
m d L
=
γ
= λ
λ ≤
λ ≥ =
∈
∑
(7)