9 / 24
Оптимизация экспедиции к Фобосу космических аппаратов с комбинированной тягой…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 7·2017 9
1 Ф
1 Ф
Ф 0
3 м.т
3 м.т
м.т
0
3 ДУПМ 3 ДУПМ
ДУПМ 0
4 п.м
4 п.м
п.м 0
5 в.а
5 в.а
в.а
0
( )(1 /
),
( )(1
/
),
(
)(1
/
),
,
( )(1
/
),
( )(1
/
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
),
)
n j
n j
m t
m t
M M m t
m t
M M
m t
m t
M M a t
a t
m t
m t
M M m t
m t
M M
(10)
где условие
( )
( )
n j
n j
a t
a t
обозначает 30 условий вида
1 Ф 1 Ф
( ) ( )
x t
x t
непрерывности всех фазовых переменных, кроме массы в момент
времени сброса двигательной установки или перелетного модуля.
При решении задачи требуется определить неизвестные фазовые
переменные
( ) ( ) ( ) (
,
,
,
, ) (
,
,
) ( ) ( )
i
i
i
i
i
i
i
x y z u v w m
, моменты времени
0 1 2 3
, ,
, ,
t t t t
параметры управления
( ) ( )
,
, ( )
i
i
i
P
, удовлетворяющие
системам дифференциальных уравнений (2), краевым условиям (6)–(10)
и минимизирующие функционал (1).
Краевая задача.
Применим к рассматриваемой задаче оптималь-
ного управления принцип максимума. Пусть существует оптималь-
ный в сильном смысле процесс в задаче, описываемой (1)–(10), такой,
что
0 :
( )
Ei
r t
0 1
,
t t t
и
( )
Si
r t
,
( )
Mi
r t
,
0 3
, ,
t t t
и выполняются условия гладкости: правые части систем дифференци-
альных уравнений (2) и их частные производные по
, , ,
i
i
i
x y z
, , , , 1...5
i i
i
i
u v w m i
непрерывны в окрестности оптимальной траекто-
рии, функции, определяющие функционал, и ограничения (1), (6)–(10)
непрерывно дифференцируемы на каждом отрезке
1
,
k k
t t
,
1...8,
k
где
k
t
последовательно «пробегает» через токи
0 Ф
, , , ,
E M
t t t t
1 2 2 3
.
, , ,
,
МТ
M
t
t t t
t
Тогда согласно принципу максимума Понтрягина
для задач управления совокупностью динамических систем [17] су-
ществуют множители Лагранжа: константы
0
,
r
0
,
rv
0
,
v
Б0
,
i
,
xF
,
yF
,
zF
,
uF
,
vF
,
wF
,
xtE
,
ytE
,
ztE
,
utE
,
vtE
,
wtE
,
xtM
,
ytM
,
ztM
,
utM
,
vtM
,
wtM
2
,
xF
2
,
yF
2
,
zF
2
,
uF
2
,
vF
2
,
wF
,
xE
,
yE
,
zE
2
,
xtM
2
,
ytM
2
,
ztM
2
,
utM
2
,
vtM
2
,
wtM
,
Tall
TF
,
0
m
,
mE
,
mM
,
2
mM
, 5 констант
mj
и 30 констант
n
a j
для условий (10) и функции
, , , , ,
,
xi
yi
zi
ui
vi
wi
mi
p p p p p p p
, не
равные одновременно нулю, такие, что на оптимальной траектории
выполняется система необходимых условий оптимальности. Выпи-
шем основные задачи конструкции принципа максимума — функции
Понтрягина:
/ ,
i
xi i
yi i
zi i
ui ui
vi vi
wi wi
mi i
i
H p u p v p w p
p
p
p P C
и терминант:
0
0
1 2
2 3
к t
tE tM t
t
tM t
m a
l
M l
l
l
l
l
l
l
l
l
,