8 / 20
В.А. Грибков, Р.А. Адаменко
8
Инженерный журнал: наука и инновации
# 3·2017
Для сопоставления в табл. 1 приведены безразмерные частоты
колебаний оболочки с трехмерной жидкостью для ряда значений па-
раметров
n
и
.
m
Для каждого тона указаны точные значения частот
( )
,
,
a
n m
определенные с использованием описанной аналитической ме-
тодики по уравнению (7), и приближенные результаты численного
решения
(ч)
,
n m
по [9].
Как видно по данным табл. 1, результаты численного и аналити-
ческого решений очень близки, что подтверждает их достоверность.
Модель жидкости с двумя компонентами движения (двумер-
ная модель) для расчета собственных частот колебаний гидро-
оболочечных систем.
При проектировочных расчетах собственных
частот колебаний гидрооболочечных систем можно использовать
упрощенную модель жидкости, учитывающую две компоненты дви-
жения (двумерная модель). При рассмотрении двумерной модели
жидкости сохраним все введенные ранее допущения, кроме трехмер-
ности течения жидкости (т. е. в данном случае считаем жидкость
идеальной несжимаемой невесомой с потенциальным, но двумерным,
течением). Будем полагать, что двумерное движение жидкости про-
исходит только в слоях, перпендикулярных продольной оси цилин-
дра, и движение указанных слоев независимое. Тогда вместо трех-
мерного уравнения (2) получим двумерное уравнение для потенциала
смещений
( , , ):
t
2
2
2
2 2
1
1
0.
(8)
С учетом осесимметричности гидрооболочечной системы и гар-
монического характера колебаний идеальной (без диссипации) си-
стемы для основного тона колебаний имеем
,
,
,
0 1
( , , )
( ) cos sin
)
(
.
n m
n m n m
n m
t
R
n p t
После исключения окружной координаты
и времени
t
из урав-
нения (8) получим вместо (4)
2
2
,
,
,
2
2
1
0.
n m
n m
n m
d
d
n
d
d
Это уравнение Эйлера [14]. Оно отличается от уравнения Лапласа (4)
отсутствием первого слагаемого. Решение уравнения Эйлера [14]:
,
1
2
( )
,
n
n
n m
c
c
где
1
c
и
2
c
— постоянные, подлежащие определению.