5 / 20
Двумерная модель жидкости для расчета собственных частот колебаний…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 3·2017 5
2
2
2
2
2
2 2
1
1
0.
(2)
Потенциал смещений жидкости
, , ,
t
должен удовлетво-
рять не только уравнению (2), но и граничным условиям безотрывно-
го движения жидкости и оболочки на смоченной стенке в направле-
нии нормали (или радиальной координаты
)
1 ( , , , )
( , , )
,
t
w t
R
(3)
а также граничным условиям на торцах цилиндрического объема
жидкости (условиям свободной поверхности)
0
0 0
(0, , , )
( , , , ) 0,
p
t
p
t
или, через потенциал смещений,
0
(0, , , )
( , , , ) 0.
t
t
Динамическое давление в объеме, занятом жидкостью, выражает-
ся через линеаризованный интеграл Коши — Лагранжа:
2
0
0
2
( , , , )
( , , , )
.
t
p
t
t
Для «сухой» оболочки решение задачи известно [13]. Сформулиро-
ванная гидроупругая задача имеет точное аналитическое решение [9].
Потенциал
( , , , )
t
при отсутствии диссипации энергии с уче-
том осевой симметрии системы можно представить следующим обра-
зом:
,
,
,
0 1
( , , , )
( , )cos
(
,)
sin
n m
n m n m
n m
t
R
n
p t
где
,
n m
p
— собственная циклическая (круговая) частота;
,
n m
— на-
чальная фаза.
Окружная и меридиональная собственные формы колебаний
определяются параметрами
m
(номер меридионального тона) и
n
(число волн по окружной координате).
Тогда уравнение (2) можно переписать в виде
2
2
2
,
,
,
,
2
2
2
1
0.
n m
n m
n m
n m
n
(4)