5 / 12
Модель фильтрации сквозь однородную пористую среду
Инженерный журнал: наука и инновации
# 9·2016 5
1
1
1 2
1 2
1
1
2
;
2
, 1
, 0
.
+
+
+
+
+
+
=
=
≤ ≤ ≤ <
+
+
n n
n n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
D D
K K
D
K
n N i I
D D
K K
(4)
Пусть
( )
{
}
0
, :
,
Q } t } mih t kl
:
:
: τ
,
где
(
)
1, ,
1
= −
i
I
m
;
[
]
1, ,
l
N k
=
;
1
m
≥
и
1
k
≥
— некоторые фиксированные натуральные
числа (под
[ ]
a b
понимается результат деления без дробной части).
Зададим целевой функционал в виде
( )
(
)
[
]
( )
1
2
1
1
1
ˆ
2
I
m N k
n n
j
j
i
l
W u
h
−
=
=
=
n − n τ
∑ ∑
, (5)
где
n kl
=
;
.
=
j im
Сформулируем дискретную задачу оптимального управления:
найти оптимальное управление
{
}
opt
opt
,
1, ,
=
=
n
u
E n
N
и соответ-
ствующее оптимальное решение задачи (3), такие, чтобы функционал
( )
W u
(4) достигал минимального значения.
Таким образом, изначальная задача оптимального управления
сведена к задаче нелинейного программирования (НЛП). Решать эту
задачу численно предлагается методом наискорейшего спуска, в ко-
тором градиент целевого функционала находят с применением мето-
да быстрого автоматического дифференцирования (БАД) [1–7]. По-
лучаемые значения градиента являются точными.
Метод БАД применяется для вычисления градиента функций, по-
лучаемых в результате выполнения алгоритма, описанного в работах
[3, 4, 7–10]. Он позволяет находить производные сложных функций,
переменные которых связаны между собой функциональными связя-
ми. В России это направление возникло и развивалось в процессе
разработки и совершенствования методов решения конечномерных
задач оптимизации, получаемых в результате дискретизации задач
оптимального управления [2, 11–14]. Ниже приведен общий способ
получения формул БАД для вычисления производных сложной
функции, основанный на теореме о неявной функции.
Предположим, что для векторов
n
∈
z R
и
r
∈
u R
дифференциру-
емые функции
( )
,
W z u
и
( )
,
z u
Φ
определяют отображения
1
:
n r
W R R R
× →
и
:
n r
n
R R R
Φ × →
. Пусть
z
и
u
удовлетворяют
системе из
n
скалярных алгебраических уравнений:
( )
,
0
n
z u
Φ =
, (6)