3 / 12
Модель фильтрации сквозь однородную пористую среду
Инженерный журнал: наука и инновации
# 9·2016 3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
min
max
, 0
,
0, ;
,
,
0, ;
,
0, ;
0,
,
0, .
=
=
n = ϕ
∈
n = ψ
∈
∂n
∂n
= n − n + −
∈
∂
∂
n ≤ n ≤ n
∈
z
z
z
z
z
L
L t
t
t
T
D K
R t E t
t
T
t
z
t
t
T
(1)
Здесь
z
— пространственная переменная;
t
— время;
θ
— искомая
влажность в точке
( )
,
z t
;
( )(
)
0,
0, ;
Q L T
=
( )
ϕ
z
( )
t
ψ
— заданные
функции;
( )
D
θ
— коэффициент диффузии;
( )
K
θ
— гидравлическая
проводимость;
( )
R t
— осадки;
( )
E t
— испарение.
Гидрофизические характеристики
( )
D
θ
и
( )
K
θ
вычисляют по
формулам, предложенным Генухтеном [1] и широко применяемым
при расчетах экстремальных ситуаций:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
2
0,5
0
0,5
0
max min
1 1
;
1
1
1
2 ,
−
−
n =
− −
−
n =
−
+ −
−
α n − n
mm
m
m
m
m
m
K K S
S
m
D K
S
S
S
m
(2)
где
min
max min
S
n − n =
n − n
;
0
K
,
α
,
m
,
min
n
,
max
θ
— некоторые параметры.
Назовем приведенную задачу прямой задачей.
Сформулируем задачу нахождения
( )
( )
,
0,
E t t
T
∈
. Пусть на не-
котором множестве
0
Q Q
⊆
задана функция
( )
ˆ ,
z t
θ
. Назовем эту
функцию «экспериментальные данные». Поставим задачу подобрать
( )
( )
,
0, ,
E t t
T
∈
таким образом, чтобы соответствующее решение
прямой задачи (1) было как можно ближе к функции
( )
ˆ ,
z t
θ
на мно-
жестве
0
Q Q
⊆
. Или, более точно, найти
( )
( )
opt
,
0, ,
E t t
T
∈
и соответ-
ствующее решение
( )
opt
,
z t
θ
прямой задачи, такие, чтобы функцио-
нал
(
)
0
2
opt
1
ˆ
2
Q
J
dzdt
= θ − θ
∫
достигал минимума.
Перейдем к дискретному аналогу задачи (1). Разобьем интервалы
( )
0,
L
и
( )
0,
T
на
I
и
N
равных подынтервалов с концевыми точками
, 0
,
n
t
n n N
= τ ≤ ≤
и
, 0
,
i
z hi
i I
= ≤ ≤
соответственно, где
T N
τ =
и
.
=
h L I