4 / 26
Ю.И. Димитриенко
4
Примем основное допущение, что компоненты вектора усилий
0
j
S
и давление
p
на внешней и внутренней поверхностях пластины
имеют порядок малости
3
( ),
O
т. е.
3
;
p
p
0 3 0
.
j
j
S
S
(4)
Допущение (4), как правило, соответствует реальным условиям
нагружения тонких пластин. В уравнениях (1) и (2) компоненты тен-
зора модулей упругости
( )
ijkl
C
будем считать зависящими от коор-
динаты
,
так как этот тензор различен для разных слоев пластины.
Решение задачи (1) для основного состояния, следуя работам
[12–15], будем искать в виде асимптотических разложений по пара-
метру
в виде функций, зависящих от глобальных и локальной ко-
ординат:
0
1
2
3
2
3
,
,
,
...
k
I
I
I
I
k
k
k
k
u u x u x
u x
u x
(5)
Аналогично в виде асимптотического разложения найдем пере-
мещения в варьированном состоянии:
0
1
2
3
2
3
,
,
,
...,
k
I
I
I
I
k
k
k
k
w w x w x
w x
w x
1 2 3.
k
(6)
Подставив разложения (5) в соотношения Коши в системе уравне-
ний (1), используя при этом правила дифференцирования функций ло-
кальных координат
3
1
,
j
j
j
X
x
получаем асимп-
тотические разложения для деформаций:
0 0
0 1
0 2
0
2
... .
ij
ij
ij
ij
(7)
При этом
0 0
0
0
,
,
1
;
2
IJ
I J
J I
u u
0 0
0
1
3
3,
/3
1
;
2
I
I
I
u u
0 0
1
33
3/3
;
u
0 1
1
1
,
,
1
;
2
IJ
I J
J I
u u
0 1
1
2
3
3,
/3
1
;
2
I
I
I
u u
0 1
2
33
3/3
;
u
(8)
0 2
2
2
,
,
1
;
2
IJ
I J
J I
u u
0 2
2
3
3
3,
/3
1
;
2
I
I
I
u u
0 2
3
33
3/3
u
и т.д.
Здесь
1
1
/3
,
i
i
u u
1
1
,
j
i j
i
u
u x
— производные по локальной
координате и по глобальным координатам.
Запишем аналогичные выражения для деформаций в варьирован-
ном состоянии: