Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред

3 / 26

Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе…
3
где 0 ,
ij  0 ,
kl  i u — компоненты тензора напряжений, тензора малых де-
формаций и вектора перемещений соответственно; , u u X 
      —
оператор дифференцирования; X  — декартовы координаты; ijkl C —
компоненты тензора модулей упругости пластины, который зависит
от координат . X  Здесь и далее по латинским индексам , ... i j k  идет
суммирование от 1 до 3, по греческим индексам …    суммиро-
вания нет, индексы    образуют четную подстановку, по заглав-
ным индексам I, J , K суммирование идет от 1 до 2.
Для варьированного состояния задача трехмерной теории устой-
чивости имеет вид [10, 19]
0
, 0;
ij i jmk im ikB      ;
im m i B    ,
1
;
2 i imk m kw   
 
,
1 ;
2 i ij j i j w w    ;
ij ijkl kl C    (2)
0
: ( ) 0,
i ij jmk m ik n
       0
3 : ( ) 0;
i ij jmk m ik n
       : 0.
T iw  
Здесь ,
ij  ,
kl  ,
mk   ,
i w i n и   — компоненты тензоров напряже-
ний, малых деформаций, тензора Леви — Чивиты [20], компоненты
векторов перемещений, нормали и поворота соответственно.
Асимптотические решения уравнений равновесия и устойчи-
вости тонких пластин. Рассмотрим уравнения равновесия (1) и
устойчивости (2) плоской пластины, срединная поверхность которой
в декартовых координатах имеет вид 3 0, X  а внешняя и внутренняя
поверхности 3  описываются уравнениями 3 2 , Х h  где h —
толщина пластины.
Будем полагать, что рассматриваемая пластина является тонкой
и для нее можно ввести малый параметр 1 h L    — отношение
общей толщины пластины h к характерному размеру всей пластины,
например к ее максимальной длине L. Введем безразмерные глобаль-
ные k x и локальную  координаты:
;
k
k
x Х L 3 , X    k = 1, 2, 3. (3)
Координаты 3 x и  в методе асимптотического осреднения рассмат-
риваются как независимые переменные. Координата  по толщине
пластины изменяется в диапазоне 0,5 0,5.    