1
УДК 531.66
Нелинейная модель удара с сухим трением
© В.В. Лапшин, Е.А. Юрин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Согласно модели абсолютно упругого удара Герца, контактная сила взаимодействия
тел зависит от деформации так же, как и в статике. К.Х. Хант и Ф. Кроссли пред-
положили, что при ударе возникает не только упругая сила, но и вязкое трение между
частицами соударяющихся тел, при этом коэффициент восстановления монотонно
убывает с ростом скорости соударения. Рассмотрена нелинейная упругопластиче-
ская модель коллинеарного удара тела о неподвижное препятствие, построенная на
основе моделей удара Герца и Ханта — Кроссли, в которой предполагается, что тре-
ние между частицами соударяющихся тел является не вязким, а сухим. Получены пер-
вые интегралы уравнений движения в фазах деформации и восстановления. Определен
коэффициент восстановления и его зависимость от постоянной трения. Получено
решение уравнения движение тела в квадратурах. Приведены результаты матема-
тического моделирования. В рассматриваемой модели возможен абсолютно неупру-
гий удар, а при упругом ударе коэффициент восстановления не зависит от скорости
соударения.
Ключевые слова:
коллинеарный удар, коэффициент восстановления, нелинейная
динамика.
Введение.
В настоящей работе рассмотрен наиболее простой
случай задачи об ударе тела о неподвижную поверхность (препят-
ствие) при предположении, что до удара и после него тело движется
поступательно вдоль одной и той же оси. Форма тела и препятствия
могут быть различными, но при этом ударные силы их взаимодей-
ствия сводятся к равнодействующей, направленной вдоль этой оси,
линия действия которой проходит через центр масс тела. Предпола-
гается, что ударные силы взаимодействия существенно больше
остальных сил, действием которых можно пренебречь [1–10]. Задача
о коллинеарном соударении двух тел решается аналогично [1, 3].
Коэффициентом восстановления при ударе называется отноше-
ние модулей скоростей тела после
V
и до
V
удара [1–9]:
.
V V
k
V V
(1)
Наиболее точная модель удара связана с исследованием динамики
движения вязкоупругопластичных деформируемых тел [1–3], достаточ-
но сложна и требует большого объема численных расчетов [1–3].
В волновой теории удара [1–3] тела являются упругими, остаточ-
ная деформация тел отсутствует. Потеря энергии при ударе обуслов-
лена возникающими при ударе упругими звуковыми волнами рас-
