Нелинейная модель удара с сухим трением
3
При исследовании этой модели удара проводилось численное инте-
грирование нелинейного уравнения движения тела в процессе удара.
Модель удара Ханта — Кроссли является развитием модели Герца
в случае, когда тело и препятствие подчиняются законам вязкоупруго-
го деформирования. Модель построена при предположении, что де-
формации при ударе малы, можно пренебречь волновыми процессами
и остаточной деформацией. Эти предположения обусловливают огра-
ничения на скорость соударения, используемые материалы, форму и
размеры тела. Рассматриваемая модель справедлива для компактных
тел, изготовленных из достаточно жесткого материала, при относи-
тельно небольших (до нескольких метров в секунду) скоростях соуда-
рения. К недостаткам этой модели можно отнести невозможность
абсолютно неупругого удара и стремление коэффициента восстанов-
ления к единице при стремлении скорости соударения к нулю незави-
симо от материала, из которого изготовлены тела.
Эту модель можно обобщить [8–9], приняв
( , )
( )
( ) ,
F F x x f x bf x x
где
( )
f x
— упругая сила взаимодействия тел при ударе, причем
(0) 0
f
и
( )
f x
является возрастающей функцией при
0.
x
В работах [8–9] получен первый интеграл уравнений движения
тела при ударе. Аналитически построена зависимость коэффициента
восстановления и потерянной при ударе кинетической энергии от
скорости соударения. Приведено решение уравнения движения тела в
квадратурах.
В настоящей работе рассмотрена нелинейная упругопластическая
модель коллинеарного удара тела о неподвижное препятствие, по-
строенная на основе моделей удара Герца и Ханта — Кроссли. Пред-
полагается, что трение между частицами деформируемых в процессе
удара тел является сухим. Получены первые интегралы уравнений
движения в фазах деформации и восстановления. Определены коэф-
фициент восстановления и потерянная при ударе кинетическая энер-
гия и их зависимость от постоянной сухого трения. Получено реше-
ние уравнения движения тела в квадратурах. Приведены результаты
математического моделирования.
В предлагаемой модели удара возможен абсолютно неупругий
удар, коэффициент восстановления меньше единицы и не зависит от
скорости соударения. Последний результат не согласуется с экспе-
риментальными данными. В связи с этим в дальнейшем предполага-
ется рассмотреть вязкоупругопластическую модель удара.
Нелинейная упругопластическая модель удара.
Рассмотрим
модель удара, аналогичную модели Ханта — Кроссли [3, 6, 8, 9], но
предположим, что трение между частицами тела, деформируемого
