Нелинейная модель удара с сухим трением
5
в фазе восстановления
max
2
2(1 ) (
)
( )
,
d x
x
V
m
(6)
где
max
x
— максимальное перемещение тела при ударе или значение
x
в конце фазы деформации. Значение
max
x
определяется как реше-
ние уравнения
max
(
) 0
V x
и вследствие соотношения (5) является
решением уравнения
2
max
( )
(
)
.
2(1 )
m V
x
d
(7)
При
( )
n
f x cx
потенциальная энергия упругой деформации
1
( )
1
n
cx x
n
, а решением является
1
2 1
max
( 1) ( )
.
2 (1 )
n
n m V
x
c d
Первые интегралы уравнений движения (5)–(6) позволяют полу-
чить решение уравнений движения (3)–(4) в квадратурах, как реше-
ние уравнений с разделяющимися переменными
( ).
x V x
В фазе де-
формации
2
0
,
( ) 2(1 ) ( )
x
m
dx t
m V
d x
в фазе восстановления
max
max
2
max
0
,
2(1 ) (
)
( )
( ) 2(1 ) ( )
x
x
x
m
m
dx
dx t
d x
x
m V
d x
где
max
x
— является решением уравнения (7).
Эти уравнения определяют в неявном виде закон движения тела
при ударе.
Коэффициент восстановления и потерянная кинетическая
энергия.
Из первых интегралов уравнений движения (5)–(6) вслед-
ствие того, что и в начале и конце удара
0,
x
следует, что началь-
ная и конечная безразмерные скорости при ударе связаны соотноше-
нием
2
2
max
( ) ( ) 2 (
) .
1
1
V V
x
d
d
m
