9
Движение твердого тела в вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
3
1 2 3
3 1 2
3
3 1 2 3
, ,
, ,
,
1, 2;
, ,
, ,
.
i
i
n x x x n x x x i
n x x x
n x x x
− =
=
− = −
(32)
При этом потенциалы Стокса – Кирхгофа обладают следующими
свойствами:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
3
1 2 3
3 1 2
3
3 1 2 3
1 2
3
1 2 3
3 1 2
3
3 1 2 3
, ,
, ,
,
, ,
, ,
;
, ,
, ,
,
, ,
, ,
,
1, 2.
i
i
i
i
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
i
Φ − = Φ
Φ − = −Φ
Ψ − = −Ψ
Ψ − = Ψ
=
(33)
В этом случае для тензоров уравнений движения имеем
3
3
3
3
33
33
,
,
,
, ,
1, 2, 3;
0,
1, 2;
0,
0,
1, 2.
ij
ji
ij
ji
ij
ji
ij
ji
i
i
i
i
ij
ij
M M J J C C E E i j
M J C E i
D
D i
=
=
=
=
=
= = = = =
Γ = = Γ = = =
(34)
В качестве примера рассмотрим тело в форме сферы радиусом
a
.
Поместим начало координат системы
O
1
x
1
,
x
2
,
x
3
в центр сферы. Реше-
ние краевых задач (5) имеет вид
3
3
;
0,
1, 2, 3.
2
i
i
i
a x
i
r
Φ = −
Ψ = =
Используя соотношения (29)–(34), нетрудно получить
0, ,
1, 2, 3;
0,
, ,
1, 2, 3.
ij
ij
ij
ij
ij
ij
D J
i j
E M C i j i j
Γ = = =
=
= = = ≠
=
Проводя интегрирование выражений (17), (25) и (28), запишем сле-
дующие формулы для коэффициентов:
3
2
4
2
8
;
6 ;
,
1, 2, 3.
3
3
ii
ii
ii
M a E a C a i
= πρ
= πρ
= πρ =
Пусть
g
= 0 , тогда уравнения движения (26), (27) для шара примут
вид
( )
( )
0
0
3
2
0
4
2
6
;
3
8
.
3
t
t
t
t
u d
d
m a u a v
F
dt
t
d
d
J
a v
M
dt
t
τ τ
⎛
⎞
+ πρ + π
=
⎜
⎟
− τ
⎝
⎠
θ τ τ
θ + πρ π
=
− τ
∫
∫
(35)
