1
УДК 532.516.5, 532.5.011.12
Движение твердого тела
в вязкой жидкости
при больших числах Рейнольдса
© А.А. Гурченков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрено твердое тело произвольной геометрии, движущееся в вязкой несжи-
маемой жидкости, движение тела предполагается заданным. Исследован случай
возмущенного относительно программного движения твердого тела, а именно
слабовозмущенное либрационное движение. Введены две декартовы системы ко-
ординат: одна неподвижна в инерциальном пространстве, другая жестко связана
с твердым телом. Положение связанной системы координат относительно непод-
вижной характеризуется вектором перемещения и вектором поворота, которые
полагаются малыми в смысле близости второго порядка. Задача решена в линейной
постановке. Решение находится методом пограничного слоя, при этом в качестве
начального приближения взяты функции, удовлетворяющие линеаризованным урав-
нениям Навье – Стокса.
Ключевые слова:
либрационное движение, вязкая жидкость, уравнения Навье –
Стокса, динамика твердого тела.
Введение.
Рассмотрим движение твердого тела
G
в вязкой несжи-
маемой жидкости с плотностью
ρ
и кинематической вязкостью
ν
. Вве-
дем две системы прямоугольных декартовых координат:
O
1
x
1
x
2
x
3
и
O
1
y
1
y
2
y
3
. Система
O
1
y
1
y
2
y
3
неподвижна в инерциальном пространстве,
а
O
1
x
1
x
2
x
3
жестко связана с твердым телом. Положение связанной си-
стемы координат относительно неподвижной характеризуется векто-
рами перемещения
u
(
t
) и поворота
θ
(
t
). Задача состоит в определении
векторов
u
(
t
) и
θ
(
t
) как функций времени, если известны главный век-
тор
F
0
и главный момент
M
0
системы внешних сил (за исключением
жидкости), действующих на тело.
Векторы
u
(
t
),
θ
(
t
), а также поле скоростей жидкости
V
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
t
)
полагаются малыми в смысле близости второго порядка. Число Рей-
нольдса в дальнейшем будем полагать большим:
Re =
l
–2
ν
–1
T
–1
#
1,
(1)
где
l
– характерный размер тела;
T
– характерное время движения (на-
пример, период колебаний).
Не ограничивая общности, будем считать, что масштабы длины
и времени выбраны так, что
l
~ 1,
T
~ 1. Тогда условие (1) означает, что
ν
"
1.
