5
Движение твердого тела в вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса
Первый член выражения (14) можно преобразовать, используя тео-
рему Остроградского – Гаусса и учитывая соотношение
U
= –
gr
:
.
R
R
R
R
D
S
S
S
G
S
UdD UndS UndS
UndS
UdG UndS Gg
⎡
⎤
−ρ ∇ = −ρ
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
= −ρ
+ ρ ∇ = −ρ
− ρ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Преобразуем интегралы, входящие в (13), используя граничные ус-
ловия (5) и теоремы Гаусса и Грина:
3
3
1
1
0
1
3
1 2
1
;
i
i
i
i
i
i
S
S
S
i
i
i
i
S
S
ndS
e
dS
e
dS
n
n
e
dS v
dS
n
n
=
=
=
∂Φ
∂ϕ
ρ ϕ = ρ ϕ
= ρ Φ =
∂
∂
⎡
⎤
∂ϕ
∂ϕ
= ρ
Φ + Φ
⎢
⎥
∂
∂
⎣
⎦
∑
∑
∫
∫
∫
∑ ∫
∫
(15)
(
)
0
3
1
3
1
,
i
j
i j
j
i
i
j
S
S
S
ij j
ij j
j
dS
u n dS
r n e dS
n
M u
=
=
⎡
⎤
∂ϕ
ρ Φ = ρ
Φ + θ × Φ =
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
⎡
⎤
=
+ Γ θ
⎣
⎦
∑
∫
∫
∫
∑
(16)
где
M
ij
(
i
,
j
= 1, 2, 3) – компоненты тензора присоединенных масс;
Γ
ij
–
компоненты тензора статистических моментов жидкости:
(
)
;
.
j
ij
i j
i
S
S
i
ij
i
j
i
S
S
M n dS
dS
n
r n e dS
dS
n
∂Φ
= ρ Φ = ρ Φ
∂
∂Ψ
Γ = Φ ×
= Φ
∂
∫
∫
∫
∫
(17)
Второй интеграл из (15), используя условия (6) на
S
и теорему Гаус-
са, можно переписать в виде
1
1 2
.
i
i
i
S
S
S
v
dS
wn dS
w dS
n
∂ϕ
Φ = − Φ = − ∇Φ
∂
∫
∫
∫
(18)
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в справедливо-
сти тождества
(
)
(
)
3
3
1
1
.
i
i
i
i
i
i
i
w e
w e e
w
=
=
− ∇Φ =
−∇Φ ⎡
⎤
⎣
⎦
∑ ∑
(19)
Из (18) и (19) найдем
