8
А.А. Гурченков
Таким образом, решение задачи о движении тела в вязкой жидкости
при больших числах Рейнольдса сведено к решению задачи о движе-
нии тела в идеальной жидкости, вычислению коэффициентов в виде
квадратур и дальнейшему интегрированию системы обыкновенных
интегродифференциальных уравнений (26), (27).
Уравнения (26), (27) являются линейными интегродифференци-
альными уравнениями Вольтерры. Для их решения могут быть при-
менены известные методы – аналитические (например, преобразо-
вание Лапласа) или численные. Кроме того, уравнения содержат
малый параметр
v
, что открывает возможность асимптотического
интегрирования соответствующими методами (например, методами
Крылова – Боголюбова).
3. Свойства потенциалов Стокса – Кирхгофа.
В случае симме-
тричной задачи уравнения (26), (27) могут быть значительно упрощены.
Пусть
O
1
x
3
– ось симметрии тела, т. е. если точка с координатами
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
лежит на поверхности
S
, то и точка (–
x
1
, –
x
2
,
x
3
) также лежит
на
S
.
Тогда для проекций нормали на оси связанной системы координат
можно использовать равенства
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2 3
1 2 3
3
1
2 3
3 1 2 3
,
,
, ,
,
1, 2;
,
,
, ,
,
i
i
n x x x
n x x x i
n x x x n x x x
− −
= −
=
− −
=
(29)
и потенциалы Стокса – Кирхгофа обладают свойствами
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2 3
1 2 3
3
1
2 3
3 1 2 3
1
2 3
1 2 3
3
1
2 3
3 1 2 3
,
,
, ,
,
,
,
, ,
;
,
,
, ,
,
,
,
, ,
,
1, 2.
i
i
i
i
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
i
Φ − −
= −Φ
Φ − −
= Φ
Ψ − −
= −Ψ
Ψ − −
= Ψ
=
(30)
В этом случае для тензоров уравнений движения справедливы
выражения
3
3
3
3
0,
, ,
1, 2, 3;
0,
0,
1, 2, 3.
ij
ij
ij
ij
ii
ii
i
i
i
i
M J C E i j i j
D
D D i
= = = = ≠
=
Γ = = Γ = Γ = = = =
(31)
Рассмотрим следующий тип симметрии. Пусть
O
1
x
3
– ось, перпен-
дикулярная плоскостям симметрии тела
S
, т. е. если точка с координа-
тами (
x
1
,
x
2
,
x
3
) лежит на поверхности
S
, то точка (
x
1
,
x
2
, –
x
3
) также ле-
жит на поверхности
S
. Тогда для проекции нормали к поверхности
S
на
оси связанной системы координат
O
1
x
1
,
x
2
,
x
3
справедливы отношения:
