6
А.А. Гурченков
(
)
1
3
3
1 2
1
1
.
i
i
i
i
i
i
i
D
S
D
wdD e v
dS e e
wdD
n
=
=
⎡
⎤
∂ϕ
+
Φ =
−∇Φ ⎢
⎥
∂
⎣
⎦
∑
∑
∫
∫
∫
(20)
Преобразуем интеграл (20):
(
)
(
)
*
0
.
i
i
i
i
D
S
e
wdD e
w d dS
∞
⎛
⎞
−∇Φ = −∇Φ ζ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
∫
(21)
При переходе от объемного интеграла к поверхностному в формуле
(21) использовано экспоненциальное затухание функции погранично-
го слоя и малость параметра
ν
. Проведем интегрирование по
ζ
в (21),
подставляя выражение для
w
*
из (8):
0
0
*
0
.
t
t
v u r
w d
d
t
∞
+ θ× −∇ϕ
ζ =
τ
π
− τ
∫
∫
(22)
Используя соотношения для потенциала течения идеальной жидко-
сти
ϕ
0
(4), выпишем подынтегральный числитель (22) в виде
(
)
(
)
3
0
1
.
j
j
j
j
j
j
j
u r
e
u r e
=
⎡
⎤
+ θ× −∇ϕ =
−∇Φ − × + ∇Ψ θ
⎣
⎦
∑
(23)
Подстановка (23) в (22) и затем (22) в (21) позволяет записать соот-
ношение (20) в виде
(
)
0
3
3
1
1
,
t
j
i
i
i
ij
ij
i
j
D
t
u
v
e e
wdD
E
d
t
=
=
⎡
⎤
⎡
⎤
ρ
−∇Φ =
τ
⎢
⎥
⎢
⎥ π
− τ
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
∑
∑
∫
∫
(24)
где
(
)
(
)
(
)
(
)
;
.
ij
i
i
j
j
ij
i
i
j
j
S
S
E
e
e dS D
e r e
dS
= ∇Φ − ∇Φ −
= ∇Φ − × + ∇Ψ
∫
∫
(25)
Подставляя (24) в (20); (20), (16) и (15) в (13) и (12), придем к следу-
ющему уравнению изменения количества движения:
(
)
(
)
( )
( )
(
)
0
0
0
0
0
,
t
t
t
t
u d
d
v d
mI M u m r
E
D
dt
t
t
F
gG
⎡
⎤
τ τ
θ τ τ
+ + θ× + Γθ +
+
=
⎢
⎥
π
− τ
− τ
⎢
⎥
⎣
⎦
= + ρ − ρ
∫
∫
(26)
где
I
0
– единичный тензор;
Γ
,
E
,
D
,
M
– тензоры с компонентами
Γ
ij
,
D
ij
,
E
ij
,
M
ij
(
i
,
j
= 1, 2, 3) соответственно, определяемые формулами
(17), (25).
