4
А.А. Гурченков
Асимптотическое решение задачи (2) выражается в первом прибли-
жении следующим образом:
( )
(
)
0 1 2 1
1
0 1 2 1
;
,
t
t
v
w p U
v
c t
υ = ∇ϕ + ∇ϕ +
= −ρ − ρ ϕ + ϕ +
(9)
где
ϕ
0
,
ϕ
1
,
w
являются решениями краевых задач (3), (6), (7);
c
(
t
) – про-
извольная функция времени.
2. Уравнения движения тела в жидкости.
Проведем сферу
S
R
ра-
диусом
R
с центром в начале координат
O
и применим законы измене-
ния количества движения и кинетического момента к системе тело –
жидкость, заключенных в объеме
D
R
между поверхностями
S
и
S
R
:
( )
0
;
R
R
S
S
dQ p ndS Tn
n dS F
dt
′
= −
+ − ρυ υ +
⎡
⎤
⎣
⎦
∫∫
∫∫
(10)
(
)
0
.
r
D
Q mu m r
dD
= + θ× + ρ υ
∫
(11)
Здесь
Q
– количество движения системы;
r
0
– радиус-вектор центра
масс тела, отсчитанный от полюса
O
1
;
m
– масса твердого тела;
T
– тен-
зор вязких напряжений:
.
i
k
ik
k
i
T v
x x
⎛
⎞
∂υ ∂υ
= ρ + ⎜
⎟
∂ ∂
⎝
⎠
Подставляя (11) в (10) и используя (9), получим
(
)
( )
( )
0
0
,
R
r
R
R
R
R
D
D
t
S
S
S
S
d
d
mu m r
dD wdD
dt
dt
ndS UndS c t
ndS Tn
n dS F
+ θ× + ρ ∇ϕ + ρ
=
= ρ ϕ + ρ
+ ρ
+
− ρυ υ +
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
(12)
где
ϕ
=
ϕ
0
+
v
1/2
ϕ
1
– гармоническая функция.
Используя теорему Остроградского – Гаусса и неподвижность по-
верхности
S
R
, запишем
.
R
R
R
t
D
S
S
S
S
d
d
d
dD
ndS ndS
ndS
ndS
dt
dt
dt
⎡
⎤
∇ϕ = ϕ + ϕ = ϕ + ϕ
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
∫
∫
∫
(13)
Главный вектор системы сил
F
0
представим в виде суммы, выделив
массовые силы:
0
.
R
D
F
UdD F mg
= −ρ ∇ + +
∫
(14)
