Моделирование устойчивости сжатого и скрученного стрежня
3
где
sin 2 2 cos 2 ;
a A AB nl
nl
nl
2 2
1 cos 2 2 sin 2 2 ;
b AB
nl
nl
nl
n l
;
B d a
A
;
e b
;
D ad be
.
2
M n
AB
Условия устойчивости прямолинейной формы равновесия стерж-
ня имеют вид
0,
a d
0,
ad be
2
4 0.
a d be
При
A
B
первые два условия выполняются, а из третьего усло-
вия следует характеристическое уравнение
sin 2 2 cos 2
A B nl
nl
nl
2 2
2
1 cos 2 2 sin 2 2
0.
AB
nl
nl
nl
m l
(3)
Наименьший положительный корень этого уравнения
кр
( )
nl
соответ-
ствует критическому углу скручивания стержня, т. е.
кр
кр
2( )
.
AB
nl
C
Так, при малых значениях
кр
( )
nl
для стержня эллиптического се-
чения
2
кр
4 1
,
3
2
A B
A B
A
AB
(4)
где
— коэффициент Пуассона.
При небольшом различие величин
A
и
B
в формуле (4) можно
пренебречь слагаемым
2
2
A B
AB
по сравнению с
A B
A
и тогда
кр
4 1
,
3
A B
B
т. е. получаем известное решение [9, 10].
Ниже приведены значения критического угла скручивания
стержня эллиптического сечения при приближенном и точном реше-
ниях для различных значений отношения изгибных жесткостей:
k B A
............................................. 1,0 0,8
0,6 0,4 0,2 0
кр
(точное решение)........................ 0 0,394 0,972 1,862 2,757 3,274
кр
(приближенное решение).......... 0 0,356 0,712 1,066 1,424 1,778
