В.М. Дубровин, Т.А. Бутина
2
Здесь
,
x y
Q Q
— перерезывающие силы в направлении осей
x
и
y
;
z
Q
— продольная сила;
,
x
y
M M
— изгибающие моменты в направле-
нии осей
x
и
y
;
,
— углы поворота подвижного триедра осей
x
,
y
,
z
вокруг осей
0
x
и
0
,
y
направленных по главным осям инерции попереч-
ного сечения стержня;
,
u
— прогибы стержня в направлении осей
0 0
,
;
x y
A
,
B
— главные изгибные жесткости стержня;
c
— жесткость
стержня при кручении;
,
r
— деформация кручения стержня до и по-
сле его искривления;
ds
— элемент упругой линии стержня.
При
B
<
A
из уравнений
0
z
dQ
ds
и
0
z
dM
ds
и условий статики
следует, что
const,
z
M M
где
Q
и
M
— осевая сила и крутящий
момент, приложенные к концу стержня. Интегрирование остальных
уравнений
позволяет
получить
выражения
для
величин
, , , ,
,
,
x
y
u
M M
содержащие в совокупности восемь постоянных
интегрирования. Для подтверждения правомерности предполагаемой
постановки задачи следует сравнить ее решение в случае скрученной
консоли (при
Q
= 0) с известным решением, выполненным в общей
постановке в работах [5–8]. Как показывает статический метод, скру-
ченный консольный стержень при решении задачи в рассматривае-
мой постановке, как и при решении в точной постановке, не имеет
искривленной формы равновесия.
При решении задачи методом малых колебаний к свободному
концу вертикального стержня прикрепляют массу
m
и рассматривают
ее колебания в горизонтальной плоскости около равновесного поло-
жения. Обозначив координаты массы
m
, отнесенные к неподвижным
осям
0
x
и
0
y
через
x
(
t
) и
y
(
t
), составим уравнения движения массы
m
, пренебрегая при этом массой стержня. При следящем моменте
M
в
каждый момент времени
t
на концах стержня, если начало координат
разместить на заделанном конце, должны выполняться следующие
граничные условия:
0,
0,
0,
0 при 0;
( ),
( ),
0,
0 при ,
x
y
u
s
u x t
y t M M
s l
(2)
где
l
— длина стержня.
При
P
= 0 из уравнений (1) и граничных условиях (2) следуют
уравнения движения массы
m
:
0,
M mx
dx by
D
0,
M my
ex ay
D
