Приближение в четырехгранном угле гармонических функций трех переменных
1
УДК 517.57
Приближение в четырехгранном угле
гармонических функций трех переменных
© О.Д. Алгазин, А.В. Копаев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрены линейные комбинации конечного числа гармонических функций трех
переменных — трехмерных аналогов действительных и мнимых частей экспо-
нент. Определены коэффициенты линейной комбинации, минимизирующей инте-
грал энергии разности между данной функцией трех переменных, гармонической в
четырехгранном угле, и этой линейной комбинацией.
Ключевые слова:
приближение функций, гармонические функции трех переменных,
интеграл энергии, минимизация.
Приближению аналитических функций полиномами из экспонент
(и разложению в ряды экспонент) посвящено огромное количество
работ (см., например, библиографию в [1, 2]).
При действительном λ и комплексном
w x yi
= +
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
exp
exp
exp cos
exp sin ,
w
x yi
x
y
x
y i
λ = λ + λ = λ λ + λ λ
поэтому гармонические функции двух переменных естественно при-
ближать линейными комбинациями (и разлагать в ряды) гармониче-
ских функций
(
)
exp
cos (
)
m
m
x
y
λ
λ
и
(
)
exp
sin (
).
m
m
x
y
λ
λ
В работе [3], например, одним из авторов определены коэффици-
енты линейной комбинации действительных и мнимых частей конеч-
ного числа экспонент, минимизирующие интеграл энергии разности
между данной функцией, гармонической в угле, и этой линейной
комбинацией.
Сложнее обстоит дело с гармоническими функциями трех пере-
менных. Здесь уже нет прямой связи с аналитическими функциями.
Конформные отображения в трехмерном пространстве слишком
просты, поэтому для каждой задачи приходится искать свой метод
решения.
В настоящей работе предлагается приближать функции, гармо-
нические в четырехгранном угле
(
)
(
)
3
0
0
0
0
0
{( ; ; )
:
,
,
}
A x y z
y y k x x z z k x x x x
=
∈ − < −
− < − >
R
