О.Д. Алгазин, А.В. Копаев
2
(
k —
положительное число), линейными комбинациями функций
(
)
(
)
2
2
,
; ;
exp
cos (
) cos ( ),
m l
m
m
l
l
p x y z
x
y
z
= − λ + λ ⋅
λ
λ
(
)
(
)
2
2
,
; ;
exp
cos (
) sin ( ),
m l
m
m
l
l
q x y z
x
y
z
= − λ + λ ⋅
λ
λ
(
)
(
)
2
2
,
; ;
exp
sin (
) cos ( ),
m l
m
m
l
l
s x y z
x
y
z
= − λ + λ ⋅
λ
λ
(
)
(
)
2
2
,
; ;
exp
sin (
) sin ( ),
m l
m
m
l
l
t
x y z
x
y
z
= − λ + λ ⋅
λ
λ
которые можно считать трехмерными аналогами действительных и
мнимых частей экспонент (здесь
1 2
, , , ,
n
λ λ … λ …
— возрастающая
последовательность положительных чисел).
Поскольку для функции
( ; ; ),
u x y z
гармонической в угле
,
A
функция
(
)
0
0
0
; ;
(
;
;
)
u x y z u x x y y z z
= + + +
′ ′ ′
′
′
′
является гармониче-
ской в угле
3
{( ; ; )
:
,
,
0},
G x y z
y kx z kx x
=
∈ <
<
>
′ ′ ′
′
′
′
′ ′
R
а для
функции
(
)
; ; ,
u x y z
′ ′ ′
гармонической в угле
,
G
функция
(
)
; ;
u x y z
=
0
0
0
(
;
;
)
u x x y y z z
= − − −
является гармонической в угле
A
и
(
)
0
0
exp ( ) exp (
exp (
exp (
)
)
)
,
x
x x
x
x
−λ = −λ + = −λ
−λ
′
′
(
)
0
0
)
)
exp (
) exp (
exp (
exp ( ),
x
x x
x
x
−λ = −λ − = λ
−λ
′
(
)
0
0
0
)
sin ( ) sin (
) sin (
cos ( ) cos (
sin ( )
),
w
w w
w w
w w
λ = λ + = λ
λ + λ
λ
′
′
′
(
)
0
0
0
sin ( ) sin (
)
sin (
cos ( ) cos (
sin
)
),
) (
w
w w
w w
w w
λ = λ − = − λ
λ + λ
λ
′
(
)
0
0
0
)
cos ( ) cos (
) cos (
cos ( ) sin (
sin ( )
),
w
w w
w w
w w
λ = λ + = λ
λ − λ
λ
′
′
′
(
)
0
0
0
)
cos ( ) cos (
) cos (
c
)
os ( ) sin (
sin ( ),
w
w w
w w
w w
λ = λ − = λ
λ + λ
λ
′
то достаточно ограничиться рассмотрением угла
G
.
Итак, будем решать следующую задачу: пусть функция
( ; ; )
u x y z
является гармонической в четырехгранном угле
G
и имеет конечный
интеграл Дирихле по области
G
, определенный формулой [4]:
[ ]
2
2
2
.
G
G
u
u
u
D u
dx dy dz
x
y
z
⎡
⎤
∂
∂
∂
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
=
+
+
⎢
⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫∫
Найти коэффициенты
,
,
,
m l
m l
m l
m l
a b c d
( ,
1, 2, , ),
m l
n
= …
ми-
нимизирующие интеграл Дирихле от функции
