Приближение в четырехгранном угле гармонических функций трех переменных
7
Коэффициенты
1
,
γ
2
,
γ
…,
1
m
−
γ
найдем из условий
[
]
[
]
[
]
1
2
1
;
;
;
0.
G m
G m
G m m
D
D
D
−
ϕ ϕ = ϕ ϕ =…= ϕ ϕ =
Для
l m
<
получим
[
]
[
]
1 1 2 2
1 1
;
,
G m l
G m
m m l
D
D P
− −
ϕ ϕ =
+ γ ϕ + γ ϕ +…+ γ ϕ ϕ =
[
]
[ ]
;
0.
G m l
l G l
D P
D
=
ϕ + γ
ϕ =
Отсюда
[ ; ]
.
[ ]
G m l
l
G l
D P
D
ϕ
γ =−
ϕ
Аналогично строятся новый базис
(
)
1
; ; ,
x y z
ψ
(
)
2
; ; ,
x y z
ψ
…,
(
)
2
; ;
n
x y z
ψ
в линейной оболочке функций
(
)
(
)
1
2
; ; ,
; ; , ...,
Q x y z Q x y z
(
)
2
; ; ,
n
Q x y z
такой, что
[
]
; 0
G m l
D
ψ ψ =
2
( ,
1, 2, , ,
),
m l
n m l
= … ≠
и базисы
(
)
1
; ; ,
x y z
χ
(
)
2
; ; ,
x y z
χ
...,
(
)
2
; ; ,
n
x y z
χ
(
)
1
; ; ,
x y z
ω
(
)
2
; ; ,
x y z
ω
...,
(
)
2
; ;
n
x y z
ω
в линейных оболочках функций
(
)
1
; ; ,
S x y z
(
)
2
; ; ,
S x y z
…,
(
)
2
; ; ,
n
S x y z
(
)
1
; ; ,
T x y z
(
)
2
; ; ,
T x y z
(
)
2
; ; ,
n
T x y z
такие, что
[
]
; 0,
G m l
D
χ χ =
[
]
; 0
G m l
D
ω ω =
2
( ,
1, 2, , ,
),
m l
n m l
= … ≠
Поскольку
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
;
;
;
;
;
G m l
G m l
G m l
G m l
G m l
D P Q D P S D P T D Q S D Q T
=
=
=
=
=
[
]
2
; 0 ( ,
1, 2, , ),
G m l
D S T
m l
n
=
=
= …
то
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
;
;
;
;
;
G m l
G m l
G m l
G m l
G m l
D
D
D
D
D
ϕ ψ = ϕ χ = ϕ ω = ψ χ = ψ ω =
[
]
; 0
G m l
D
= χ ω =
2
( ,
1, 2, , ,
).
m l
n m l
= … ≠
Теперь рассмотрим задачу, к которой сводится поставленная ра-
нее задача: найти коэффициенты
2
2
1 2
1 2
1
, , ,
, , , ,
, ,
n
n
α α … α β β … β γ
2
2
2
1 2
, ,
, , , ,
,
n
n
γ … γ δ δ … δ
минимизирующие интеграл Дирихле от
гармонической в угле
G
функции
