О.Д. Алгазин, А.В. Копаев
4
Отметим, что функции
(
)
,
; ;
m l
p x y z
( ,
1, 2, , )
m l
n
= …
линейно не-
зависимы. Действительно, предположим, что эти функции линейно
зависимы. Тогда существуют числа
m l
c
( ,
1, 2, , ),
m l
n
= …
не все рав-
ные нулю и такие, что
(
)
2 2
1 1
exp
cos (
) cos ( ) 0
n n
m l
m
m
l
l
m l
c
x
y
z
= =
− λ + λ ⋅
λ
λ =
∑ ∑
в угле
G
, а значит, и во всем трехмерном пространстве.
Положим в этом равенстве
0.
x
=
Получим, что для любых дей-
ствительных чисел
y
и
z
1 1
cos (
) cos ( ) 0.
n n
m l
m
l
m l
c
y
z
= =
λ
λ =
∑ ∑
Поскольку задача Дирихле в классе двоякогармонических функ-
ций в области {(
1
x
;
2
x
;
y
;
z
)
4
∈
R
:
1
2
0,
0}
x
x
> >
четырехмерного про-
странства
4
R
имеет единственное ограниченное решение [5], то в
этой области (а значит, и во всем четырехмерном пространстве)
1
2
1 1
exp (
exp ( cos (
) cos (
)
.
)
) 0
n n
m l
m
l
m
l
m l
c
x
x
y
z
= =
−λ
−λ
λ
λ =
∑ ∑
Но тогда для любых действительных чисел
2
,
x z
2
1 1
Re
exp (
) exp ( cos ( ) 0,
)
n n
m l
m
l
l
m l
c
w
x
z
= =
⎡
⎤
−λ
−λ
λ =
⎢
⎥
⎣
⎦
∑ ∑
где
1
w x yi
= +
— комплексное переменное. Отсюда получим, что
2
2
1 1
exp (
) exp (
) cos ( ))
( ; ),
n n
m l
m
l
l
m l
c
w
x
z iC x z
= =
−λ
−λ
λ =
∑ ∑
(1)
где
2
( ; )
C x z
— действительная функция.
Продифференцируем равенство (1) по
w .
Получим
[
]
2
1 1
exp (
) exp ( cos ( )
.
)
0
n n
m m l
m
l
l
m l
c
w
x
z
= =
−λ
−λ
−λ
λ =
∑ ∑
(2)
Перегруппируем слагаемые в равенстве (2):
[
1 1
1 2
1
1
exp(
)
exp (
cos ( )
)
n
m
m
m
w c
x
z
=
−λ −λ
−λ
λ −…−
∑
]
2
exp (
)cos ( ) 0.
n m n
n
n
c
x
z
− λ
−λ
λ =
