Приближение в четырехгранном угле гармонических функций трех переменных
5
Но поскольку функции
(
)
exp
(
m
w
−λ
m
=1, 2, …,
n
)
линейно неза-
висимы, то для любого
m
=1, 2, …,
n
1 1
1 2
1
2
exp (
) cos ( )
exp (
)cos ( ) 0.
m
n m n
n
n
c
x
z
c
x
z
−λ
−λ
λ −…−λ
−λ
λ =
(3)
Пусть
0 0
0.
m l
c
≠
Положив в равенстве (3)
0
,
m m
=
получим
0
0
1 1
1 2
1
2
exp (
) cos ( )
exp (
)cos ( ) 0,
m
n m n
n
n
c
x
z
c
x
z
−λ
−λ
λ −…−λ
−λ
λ =
а это невозможно, так как функции
(
) ( )
2
exp
cos
l
l
x
z
−λ
λ
( 1,
l
=
2, , )
n
…
линейно независимы [3].
Аналогично доказывается линейная независимость функций
(
)
,
; ;
m l
q x y z
( ,
1, 2, , ),
m l
n
= …
(
)
,
; ;
m l
s x y z
( ,
1, 2, , ),
m l
n
= …
(
)
,
; ;
m l
t
x y z
( ,
1, 2, , ).
m l
n
= …
Отсюда следует, что все четыре ука-
занных множества функций образуют базисы в своих линейных
оболочках.
Теперь построим новый базис
(
)
1
; ; ,
x y z
ϕ
(
)
2
; ; ,
x y z
ϕ
...,
2
( ; ; )
n
x y z
ϕ
в линейной оболочке функций
(
)
,
; ;
m l
p x y z
( ,
m l
=
1, 2, , ),
n
= …
такой, что
[
]
;
0
G m l
D
ϕ ϕ =
2
( ,
1, 2,
; ,
).
m l
n m l
= … ≠
К функциям
(
)
,
; ;
m l
p x y z
( ,
1 )
m l
n
= …
применим процесс, анало-
гичный процессу ортогонализации Грама —Шмидта [6]. Сначала
преобразуем двумерный массив
(
)
,
; ;
m l
p x y z
( ,
1, 2, , )
m l
n
= …
в од-
номерный, положив
(
)
(
)
,
; ;
; ; ,
j
m l
P x y z p x y z
=
2
2
( 1)
, если ;
( 1) 2 , если ,
m l
m l
j
l
l m l m
⎧
− +
≥
=
⎨
− + −
>
⎩
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1,1
2
2,1
; ;
; ; ,
; ;
; ; ,
P x y z p x y z P x y z p x y z
=
=
…
Примем
(
)
(
)
1
1
; ;
; ; .
x y z P x y z
ϕ
=
Далее положим
(
)
2
; ;
x y z
ϕ
=
(
)
(
)
2
1
; ;
; ;
P x y z
x y z
=
+ γ ϕ
и найдем γ из условия
[
]
2 1
; 0.
G
D
ϕ ϕ =
Имеем
[
]
[
]
[ ]
2
1 1
2 1
1
;
;
0,
G
G
G
D P
D P
D
+ γϕ ϕ =
ϕ + γ ϕ =
[
]
[ ]
2 1
1
;
.
G
G
D P
D
ϕ
γ = −
ϕ
Отметим, что
2
( ; ; )
x y z
ϕ
≢
0. Иначе функции
(
)
2
; ;
P x y z
и
(
)
(
)
1
1
; ;
; ;
P x y z
x y z
= ϕ
были бы линейно зависимы. Отметим также,
что
2
/
x
∂ϕ ∂
≢
0,
2
/
y
∂ϕ ∂
≢
0 и
2
/
z
∂ϕ ∂
≢
0.
