Устойчивость и динамические характеристики одномерных элементов…
7
а также функции для описания предварительного нагружения
o
o
o
o
3
3
2
,
.
EJ
EJ
Q Q M M
L
L
α
α
=
=
(11)
С учетом формул (10), (11) уравнения (8) представим в виде си-
стемы уравнений с переменными коэффициентами
3
2
2
2 2
1
1
1 1
2
o
o
2
3
1 2 1
2 1 2
3
3
o
2
1 3 1
3
o
2
1
2 3
2
4
1
,
ξ
,
ξ
,
ξ
ξ
ξ ω ,
( ξ )
,
(ξ
)
ξ ω .
du
ds
d
M k
d s
d
M k
ds
dQ Q M Q M u
ds
dM k M M Q
ds
dM M k M
ds
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= −ϕ
ϕ
= − ϕ
ϕ
= + ϕ
= −
+
−
= − −
+
= −
− + ϕ
(12)
Таким образом, с использованием соотношений (9)–(11) выпол-
нено разделение переменных и обезразмеривание силовых и кинема-
тических функций, что позволило получить полную систему диффе-
ренциальных уравнений свободных колебаний предварительно
нагруженного плоского криволинейного стержня, имеющего по
длине переменные геометрические характеристики. Расчет частот и
форм собственных колебаний стержня можно провести на основе
решения задачи о собственных значениях, предварительно сформу-
лировав и решив краевую задачу. При этом, выбрав конкретные гео-
метрические параметры модели, необходимо определить факторы
основного нагружения, входящие в систему (12), а также задать гра-
ничные условия. Искомые значения частот обращают в нуль опреде-
литель системы линейных алгебраических уравнений, получаемых в
ходе решения краевой задачи, при выполнении ее граничных усло-
вий. Отметим, что для расчета конструкций инструментов сложных
конфигураций на основе одномерной модели, как правило, требуется
провести дополнительные исследования по выбору граничных усло-
вий и определить исходное напряженно-деформированное состояние.
В связи с этим в дальнейшем приведены расчеты наиболее распро-
страненных несущих элементов корпуса — консольно закрепленных
прямолинейных и криволинейных полос, свободный конец которых
нагружен произвольно ориентированной силой
,
P
лежащей в их
плоскости. При этом граничные условия имеют вид
