Устойчивость и динамические характеристики одномерных элементов…
3
0
0
0
0
1
3 3
1
3 3
(
)
,
e r r u e
e u e
′
′
′
= = +
= +
(2)
где
(...)
(...)
.
s
∂ ′ =
∂
Сравнивая выражения (1) и (2), получаем
3
2
.
u
′ = −ϕ
(3)
С учетом малости значений смещений и поворотов вектор изме-
нения кривизны можно представить в виде
1
2 1
2
1 2
1 1 2 2
χ
(
) (
)
δ δ ,
k e
k e e e
′
′
′
= ϑ = ϕ − ϕ + ϕ + ϕ = +
(4)
где
1
δ
— кручение;
2
δ
— изменение кривизны оси в результате де-
формации.
Полный вектор кривизны оси стержня в деформированном состо-
янии
1 1 2 2
3
Ω δ δ
.
e e ke
= + +
Соотношения (3), (4) представляют собой уравнения Клебша [8],
преобразованные применительно к выбранной кинематической схеме
деформирования плоского криволинейного стержня.
Считая поведение стержня в процессе деформирования упругим,
связь изменения кривизны и кручения с крутящим и изгибающим
моментами в сечении принимаем в виде [10]
,
E J
M
α α α
α
δ =
1, 2,
α =
(5)
где
E J
α α
— жесткости сечения на кручение и изгиб.
Нелинейные уравнения равновесия криволинейного стержня
в виде тонкой полосы и их линеаризация.
Для получения уравне-
ний равновесия стержня выделим двумя сечениями, нормальными к
его оси, элемент длиной
,
ds
как показано на рис. 2, где внутренние
силовые факторы левого торцевого сечения приведены к главному
вектору
Q
и главному моменту
,
M
правого торцевого сечения —
Q dQ
+
и
.
M dM
+
Считаем, что на элемент действует распределен-
ная сила интенсивностью
3
f
и распределенный момент
1
.
m
Тогда уравнения равновесия можно представить в векторном ви-
де [11, 12]
3
1
1
0,
0.
Q f
s
M e Q m
s
∂
+ =
∂
∂
+ × + =
∂
