В.А. Калиниченко, Аунг Наинг Со
4
2. Результаты и обсуждение.
Схемы экспериментов с волнами
Фарадея и физическим маятником приведены на рис. 1.
Волны Фарадея
. Рассматривая плоское движение жидкости в верти-
кально колеблющемся и неподвижном в горизонтальном направлении
сосуде, смещение свободной поверхности жидкости зададим в виде
( , ) 0,5 ( ) cos ,
y x t
H t
kx
=
где
x
и
y
— координаты точек свободной по-
верхности жидкости в системе координат, жестко связанной с сосудом;
( )
H t
— высота стоячей волны;
/
k n L
= π
— волновое число (
n
— но-
мер волновой моды, равный числу узлов стоячей волны;
L
— длина
сосуда). Тогда, как показано в работах [12–14], получим уравнение,
определяющее функцию
( ):
H t
2
2
( ) 2 ( ) (
cos ) ( ) 0.
H t
bH t
ks
t H t
′′
′
+
+ ω − Ω Ω =
(1)
Здесь действующая между частицами жидкости сила трения пропор-
циональна их скорости с коэффициентом
b
;
th
gk kh
ω =
— ли-
нейная частота волны;
g
— ускорение силы тяжести.
Если ввести безразмерную переменную
/ 2
t
τ = Ω
и выполнить
преобразование
1
( )
( ),
H e H
−δτ
τ =
τ
функция
1
( )
H
τ
будет удовлетво-
рять уравнению Матье в канонической форме:
1
1
[ 2 cos2 ]
0,
H p q
H
′ + −
τ =
(2)
где
2
2
2 ;
(2 / )
q s p
= κ = ω Ω − δ
( 2 / ).
b
δ = Ω
Предположим, что в начальный момент времени амплитуда вол-
нового возмущения мала, т. е.
1
( )
H
τ
1. Тогда, согласно уравнению
(2), если частота колебаний
Ω
сосуда принадлежит зоне неустойчи-
вости, определяемой неравенством [15, 16]
2
2 2
2
2
2
2
1 (2 ) 4 /
1 (2 ) 4 / ,
sk
b
sk
b
ω
−
− ω < < +
− ω
Ω
тривиальное решение уравнения (2) теряет устойчивость, и колеба-
ния нарастают по экспоненциальному закону.
В силу теоретической модели [16], в которой асимптотическое
решение нелинейной задачи о поверхностных волнах Фарадея по-
строено в переменных Лагранжа методом Крылова — Боголюбова,
резонансные зависимости высоты стационарной волны от частоты
параметрического воздействия определяются соотношением
(
)
2
2
2
2
2
4
/ 2
/ 2
.
k H
s
g b
±
⎡
⎤
ωβ = ω − Ω ± ω Ω −
⎢
⎥
⎣
⎦
(3)
Здесь
(
)
4
6
4
2
th 2th 3th 12th 9 / 64;
kh kh
kh
kh
−
β =
+
+
−
величины
Н
+
,
Н
–
соответствуют реализуемой в эксперименте устойчивой и неустойчи-
вой ветвям резонансной зависимости соответственно.
