6
Ю.И. Димитриенко, А.А. Веретенников
(
x
01
–
x
0
=
u
0
) задает деформацию узлов, по которой можно рассчи-
тать градиент деформации и тензор деформации, а значит, используя
(3) или (5), можно получить и компоненты тензора напряжений Коши
в выбранной точке конечного элемента.
Алгоритм решения задачи.
Алгоритм состоит из двух циклов:
цикл по итерациям нагрузки и цикл по итерациям метода Ньютона.
Схема алгоритма следующая.
1. Ввод геометрии, граничных условий и параметров материала.
2. Инициализация
x
=
x
0
— глобальный вектор координат узлов.
3. Цикл по итерациям нагрузки:
3.1. обновить глобальный вектор узлов
x
решением (перемеще-
ниями), полученным на предыдущей итерации нагрузки и гранич-
ными условиями (
x
i1
=
x
i
+
u
0
);
3.2. найти {
R
};
3.3. построить глобальную матрицу жесткости;
3.4. реализовать цикл по итерациям метода Ньютона:
3.4.1. построить глобальную матрицу жесткости;
3.4.2. найти вектор
R
;
3.4.3. исключить из матрицы жесткости предписанные
перемещения;
3.4.4. решить СЛАУ (20);
3.4.5. вычислить невязку
T
·
u
;
3.4.6. вычислить смещение координат точек
x
=
x
+
u
.
Для решения СЛАУ применялась модификация метода Холецкого
с использованием дерева исключения (eliminationtree) [19], а также ме-
тод сопряженных градиентов с предобуславливателем в виде неполно-
го LU-разложения (ILU).
Пример численного решения.
Для тестирования предложенного
алгоритма была рассмотрена задача об одноосном растяжении бруса,
для которой известно аналитическое решение [17]. Были выбраны сле-
дующие значения констант задачи:
λ = 100 МПа,
μ
= 100 МПа,
h
1
= 1,
h
2
= 6,
h
3
= 1,
где
h
i
— геометрические размеры бруса в отсчетной конфигурации.
На каждой итерации брусу придавалось приращение по оси растя-
жения бруса 0,8333 % за 1 итерацию.
На рис. 1 приведен пример решения задачи о растяжении бруса
для модели A
V
. Показано распределение эквивалентного напряжения
в брусе при деформации растяжения 20 %. В виде сетки представле-
на отсчетная конфигурация бруса до деформации. Цветом обозначе-
но эквивалентное напряжение фон Мизеса (второй инвариант тензора
