5
Конечно-элементное моделирование больших деформаций
(
)
[
]
(
)
(
)
4
,
1
1
2
.
2
e
Ce k a a
b b
a
a
a
a
b
b
b
b
e
V
D W N N
N N
N N dV
δ ϕ δ
=
= δ ⊗∇ + ∇ ⊗δ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⊗∇ + ∇ ⊗
∫
v u
v
v C u
u
(17)
Вклад геометрической составляющей (15) дискретизируется следу-
ющим образом:
(
)
[
]
(
)
,
.
e
Ge k a a
b b
a
b
e
V
D W N N
N N dV
δ ϕ δ
= δ ⋅
∇ ⋅ ⋅∇ ⋅
∫
v u v u
T E
(18)
Вклад эквивалентных узловых усилий имеет вид
(
)
,
.
e
e k a a
a
V
a e
dV
W N
N
δ ϕ δ = δ
⋅∇ ⋅
∫
v v T
(19)
Дискретизация полученных соотношений согласно методу конеч-
ных элементов приводит к матрично-векторной постановке задачи:
[
K
A
+
K
σ
]
{
u
} = –{
R
}.
(20)
Здесь {
u
} — вектор приращения решения; [
K
A
] и [
K
σ
] — материальная
и геометрическая компоненты матрицы жесткости конечного элемента:
[ ] [ ] ,
[ ] [ ]
[ ]
]
, }
[ {
T
T
A
V
V
K B C B dV
dV
K B
σ
=
σ
=
⋅
⋅
∫
∫
(21)
где [
B
] — матрица производных функций формы конечного элемента;
[
C
] — матричная запись симметричного тензора
4
C
упругих постоян-
ных; {σ} — столбец компонент тензора истинных напряжений Коши в
текущий момент времени (рассчитывается в результате итерационной
процедуры); {
R
} — столбец эквивалентных узловых сил:
{ } [ ] { } .
T
V
R B dV
=
⋅ σ
∫
В силу нелинейной постановки матрица
[
K
σ
]
и {
R
} зависят от на-
пряжений {σ}, полученных на предыдущем шаге метода Ньютона.
В качестве первого приближения использовались напряжения, по-
лученные при применении к дискретизированной геометрии задачи
граничных условий в виде перемещений: полагая решением на нуле-
вой итерации исходную геометрию, измененную на граничные усло-
вия, т. е. если
x
0
— вектор координат узлов в исходной конфигурации,
и
u
0
— вектор приращений координат узлов, задаваемый граничны-
ми условиями в виде перемещений, то
x
01
=
x
0
+
u
0
— вектор коорди-
нат узлов в нулевой итерации. Разница между двумя этими векторами
