4
Ю.И. Димитриенко, А.А. Веретенников
(
)
[ ]
(
) (
)
(
)
4
,
.
T
k
V
V
D W
dV
dV
δ ϕ δ = δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ∇⊗ ⋅ ∇⊗δ
∫
∫
v u D C
T u
v
ε
(11)
Тогда, перенеся в (10)
δ
W
(φ
k
,
δ
v
) в правую часть со знаком минус,
линеаризованный принцип виртуальной работы принимает вид
(
) (
)
(
)
4
.
T
V
V
V
dV
dV
dV
δ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ∇⊗ ⋅ ∇⊗δ
= − ⋅ ⋅δ
∫
∫
∫
D C
T u
v
T D
ε
(12)
Здесь
(
)
1
2
T
= ∇⊗ + ∇⊗
u u
ε
— тензор деформаций линейной теории
упругости;
4
C
— тензор упругих постоянных четвертого ранга в про-
странственном описании, зависящий от материала. Для моделей A
V
и неогуковской компоненты тензора
4
C
соответственно имеют вид
(
)
(
)
5
1
,
2
1
2
,
ln .
A
ijkl
ij kl
ik jl
il jk
NH
ijkl
ij kl
ik jl
C
J
C
J
J
= λδ δ + μδ δ + μδ δ
′
= λδ δ + μ δ δ
′μ = μ − λ
(13)
Материальную составляющую линеаризованного уравнения вирту-
альной работы обозначим следующим образом:
(
)
[ ]
4
,
,
C k
V
D W
dV
δ ϕ δ = δ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
∫
v u D C
ε
(14)
а геометрическую составляющую, соответственно, так
(
)
[ ]
(
)
,
.
T
G k
V
D W
dV
⎡
⎤
δ ϕ δ = ⋅ ⋅ ∇⊗ ∇ δ ⎦
⋅ ⊗
⎣
∫
v u T
u
v
(15)
Численный метод решения задачи.
Дискретизация задачи по ме-
тоду конечных элементов (КЭ) проводится разделением всей области
решения в актуальной конфигурации на изопараметрические конечные
элементы, и аппроксимации решения в каждом КЭ с помощью полино-
миальных функций:
( )
1
,
n
j
i
i
i
N X
=
=
∑
u
q
(16)
где
N
i
(
X
j
) — функции формы;
X
j
— лагранжевы координаты;
q
i
— не-
известные перемещения в узлах конечного элемента.
После серии преобразований вклад дискретизированной матери-
альной составляющей (14) в линеаризованное уравнение виртуальной
работы на элементе
e
и узлов
a
и
b
имеет вид
