3
Конечно-элементное моделирование больших деформаций
(
)
(
)
ln ,
J
J
J
μ
λ
= − +
T B E
E
(6)
где
B
=
F
·
F
T
— мера деформаций Фингера.
Граничные условия для уравнений (1) выберем в виде заданных пе-
ремещений
u
0
на части Σ
u
поверхности и свободной от нагрузок остав-
шейся части Σ
T
= Σ\Σ
u
поверхности в актуальной конфигурации
0
,
.
u
T
Σ
Σ
=
⋅
=
u u n T 0
(7)
Линеаризация задачи.
Задача решалась с применением метода ко-
нечных элементов в актуальной конфигурации. В силу постановки за-
дачи (1) в конечных деформациях результирующая система в методе
конечного элемента является нелинейной. Для решения системы не-
линейных уравнений применялась следующая модификация метода
Ньютона: пусть
F
(
x
) = 0 — система нелинейных уравнений,
x
0
— при-
ближенное решение, а
x
=
x
0
+
u
— точное решение системы, тогда
алгоритм метода Ньютона имеет вид
F
(
x
i
) +
D
F
(
x
i
) [
u
] = 0,
x
i
+ 1
=
x
i
+
u
,
(8)
где
D
F
(
x
i
) [
u
] — производная по направлению вектора
u
, определяемая
как слабый дифференциал (дифференциал Гато [18]):
0
0
(
) ( )
( , )
(
)
lim
.
|
d
D
d
ξ= ξ→
+ ξ −
=
+ ξ =
ξ
ξ
0
0
0
0
F x u F x
F x u F x u
(9)
В случае, если функционал
D
F
(
x
0
,
u
) линеен по ξ, то
D
F
(
x
0
,
u
) =
=
D
F
(
x
0
)·
u
. Если же при этом
u
— вектор из конечномерного про-
странства, то обычно используют такое обозначение [14]:
D
F
(
x
0
)·
u
=
=
D
F
(
x
0
)[
u
].
Линеаризация принципа виртуальной работы (2) согласно алгорит-
му (8) метода Ньютона имеет вид
δ
W
(φ
k
,
δ
v
) +
D
δ
W
(φ
k
,
δ
v
) [
u
] = 0,
(10)
здесь φ
k
–
k
-е приближение решения в перемещениях;
u
— приращение
решения;
D
— символ производной по направлению неизвестного век-
тора перемещений
u
.
В рассматриваемой задаче внешние поверхностные и массовые
силы отсутствовали и граничные условия задавались только в виде пе-
ремещений (7). С учетом этого из (9) и (2) можно получить выражение
для слабой производной [14]:
