2
Ю.И. Димитриенко, А.А. Веретенников
ми деформациями для изотропной сжимаемой гиперупругой среды.
В актуальной конфигурации уравнение равновесия в дифференциаль-
ной формулировке имеет вид [17]
∇
·
T
+
ρ
f
= 0,
(1)
где
T
— тензор напряжений Коши;
f
— плотность внешних массовых
сил;
ρ
— плотность материала;
∇
— набла-оператор. Соответствую-
щий уравнениям (1) принцип виртуальной работы (вариационное урав-
нение) имеет вид [17]
(
)
,
0,
n
V
V
W
dV
dV
d
Σ
δ δ = ⋅ δ − ρ ⋅ δ − ⋅ δ Σ =
∫
∫
∫
u v T D f v
t v
(2)
где
u
—вектор перемещений;
δ
v
—произвольная виртуальная скорость;
V
— объем тела в актуальной конфигурации;
1 (
)
2
T
= ∇⊗ + ∇⊗
D
v
v
—
тензор скоростей деформации;
t
n
— плотность внешних поверхност-
ных сил (вектор напряжений). Последний интеграл берется по грани-
це Σ объема
V
.
Для задачи (1) выберем два типа определяющих соотношений не-
линейной гиперупругой изотропной сжимаемой среды: соответствую-
щие модели A5 по классификации, введенной в [17], и неогуковской
модели. Определяющие соотношения модели A
V
имеют вид
( )
(
)
1
,
1
2
J
T
I
= ⋅ λ + μ ⋅
T F C C F
(3)
здесь
F
— градиент деформаций;
J
= det
F
;
C
— тензор деформаций
Коши—Грина; λ и
μ
— параметры Ламе материала. Соотношения
между вектором перемещений и градиентом деформации и тензором
деформации Коши—Грина имеют следующий вид:
,
T
°
= + ∇⊗
F E u
(4)
1
,
2
T
T
°
°
°
°
⎛
⎞
= ∇⊗ + ∇⊗ + ∇⊗ ∇⊗
⎜
⎟
⎝
⎠
⋅
C
u u
u u
(5)
где
E
— единичный тензор, а
i
i
X
°
∂
∇⊗ = ⊗
∂
u
u r
D
— градиент вектора
перемещений, заданный в отсчетной конфигурации;
i
r
D
— локальные
векторы взаимного базиса.
Определяющие соотношения неогуковской модели выберем в ва-
рианте Боне из [14]:
