Дзета-функция Римана, ее знакопеременная версия и их q-аналоги
1
УДК 511.331, 530.145
Дзета-функция Римана, ее знакопеременная версия
и их
q
-аналоги
© A.O. Шишанин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрены q-аналоги дзета-функции Римана и ее знакопеременной версии с ис-
пользованием функциональных рядов. Вычислены их значения в отрицательных
целых точках, которые в классическом пределе q →1 соответствуют значениям,
полученным Л. Эйлером.
Ключевые слова:
дзета-функция Римана, квантовый анализ, q-аналог, классиче-
ский предел.
Введение.
Дзета-функция Римана [1, 2] является уникальным объ-
ектом исследования и имеет много интересных обобщений, в частно-
сти о теоретико-числовых дзета-функциях [3]. Одним из крупнейших
событий в математике ХХ в. было доказательство гипотез А. Вейля
для дзета-функции Хассе – Вейля. Дзета-функция применяется в ста-
тистической механике и в квантовой теории поля [4]. Такие обобще-
ния дзета-функции строятся по неотрицательному самосопряженному
оператору. Обычная дзета-функция Римана часто входит в формулы
квантовой статистики. К известным примерам можно отнести закон
Стефана – Больцмана теплового излучения абсолютно черного тела.
Считается, что дзета-функцию ввел Л. Эйлер, который впервые вы-
числил сумму известного задолго до него следующего числового ряда:
2
2
1
1
1 1 1
1
...
.
4 9 16
6
n
n
Он решил эту задачу несколькими способами, например разло-
жением функции sin
x
/
x
в бесконечное произведение с применением
теоремы Виета (если рассматривать эту функцию как многочлен).
Далее он ввел функцию, задаваемую следующим рядом:
1
1
1 1 1
( )
1
...
2 3 4
s
s
s
s
n
s
n
Похожим образом Л. Эйлер нашел значение дзета-функции в по-
ложительных четных точках:
ζ(2) =
2
6
, ζ(4) =
4
90
, ζ(6) =
6
950
,...
