A.O. Шишанин
2
Общая формула для любого натурального
n
имеет вид
2 1 2
(2 ) 2
,
(2 )!
n
n n
B
n
n
где
B
n
– числа Бернулли.
Л. Эйлер получил также следующую формулу для дзета-функции
в виде бесконечного произведения:
1
( )
,
1
s
p
s
p
где
p
пробегает все множество простых чисел.
Новое понимание дзета-функции и ее приложений для теории чи-
сел внес в XIX в. Б. Риман. Он предложил рассматривать дзета-
функцию как функцию комплексной переменной. Б. Риман вывел
функциональное уравнение и с его помощью построил аналитическое
продолжение, а также сформулировал знаменитую гипотезу о нетри-
виальных нулях дзета-функции. Согласно этой гипотезе, нетривиаль-
ные нули ζ(
s
) лежат на прямой c действительной частью
s
= 1/2. Это
утверждение до сих пор не доказано.
Рассмотрим знакопеременную дзета-функцию
1
1
1
1 1 1
( )
( 1)
1
...
2 3 4
n
s
s
s
s
n
s
n
Эта функция связана с обычной дзета-фукцией следующим об-
разом:
1
( ) (1 2 ) ( ).
s
s
s
(1)
Б. Риман получил функциональное уравнение для дзета-функции
в виде
1
1
(1 )
cos
( ) ( ).
2
2
s
s
s
s
s s
Посредством функционального уравнения дзета-функцию можно
аналитически продолжить на отрицательные числа. Тогда запишем ее
значения для отрицательных целых чисел
2
(1 2 )
,
( 2 ) 0,
2
n
B n
n
n
