A.O. Шишанин
6
[ ]
1
0
( )
.
t
qx
q
q q
t
x E d x
Можно показать, что для нее функциональным уравнением будет
( 1) [ ] ( ),
q
q
t
t
t
а для натуральных чисел имеем Γ
q
(
n
+ 1) = [
n
]!.
Аналогично для
q
-бета-функции, определяемой формулой
1
1
1
0
( , )
(1 )
,
t
s
q
q q
B t s
x
qx d x
получим следующее выражение:
( ) ( )
( , )
.
(
)
q
q
q
q
t
s
B t s
t s
Примечательно, что эти функции можно записать в виде беско-
нечных произведений:
1
(1 )(1 ) (1
)
( , )
;
(1 ) (1 )
(1 )
( )
.
(1 ) (1 )
t s
q
q
q
t
s
q
q
q
q
t
t
q
q q
q
B t s
q
q
q
t
q
q
Первая формула упрощается для натуральных
n
и имеет вид
1
(1 )(1 )
( , )
.
(1 )
n
q
q
t n
q
q q
B t n
q
Квантовая дзета-функция.
Корректно
q
-аналог дзета-функции
Римана был впервые представлен в работе [8], хотя различные вари-
анты рассматривались и ранее. Основная идея работы [8] заключает-
ся в следующем.
Рассмотрим следующее семейство рядов:
2
3
4
1
1
0
1
2
1
2
( , )
... (1 )
[ ] [1] [2] [3] [4]
1
( 1)
(1 )
... .
2
1
1
1
nt
t
t r
s
s r
q
r
s
s
s
s
s
t r
n
r
t
t
t
s
t
t
t
q q q t q t q t
q
f s t
q C
n
q
q
q s s
q
q
s
q
q
q
